Probar o refutar afirmaciones relacionadas con series convergentes y absolutamente convergentes

Question

Demostrar o refutar:

Deje $\rho : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ inyectiva. Deje $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia.

(i) Si $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}$ converge absolutamente, a continuación, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{\rho(n)}$ también converge absolutamente.

(ii) Si $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}$ converge, a continuación, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{\rho(n)}$ también converge.

Así que mi opinión es que una serie converge si la infinita suma de la serie es el límite? Converge absolutamente si $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty |a_{n}|$ converge. La forma en que me estoy leyendo el $a_{\rho(n)}$ s 'es que denotan algún tipo de permutación o reordenamiento de la serie original. Aparte de esto, sin embargo, estoy absolutamente perdido cuando se trata de acercarse a este problema... En general estoy buscando una $\epsilon >0$, que es mayor que $a_{\rho(1)}+ \dots +a_{\rho(n)}$ ? Si es así, ¿cómo puedo comenzar a tratar de encontrarlo?

Answer 1

Para (i):

Supongamos que $\sum a_n$ converge a $a \in \mathbb{R}$. Así que si $\epsilon > 0$ existe N tal que si $n, l > N$ $s_n = a_1 + \ldots + a_n$

$$|a - s_n| < \epsilon \text{ and } \sum_{k = N + 1}^l |a_n| < \epsilon.$$

Ahora vamos a $M \in \mathbb N$ de manera tal que los términos de $a_1, \ldots, a_N$ figuran como suma de elementos en $t_m = a_{\rho(1)} + \ldots + a_{\rho(M)}$. Así que ahora tenemos que para $m \geq M$ que $t_m - s_n$ es una suma de un número finito de términos $a_l$$l > N$. Así, para algunas $l > N$ tenemos que

$$|t_m - s_n| \leq \sum_{k = N + 1}^l |a_n| < \epsilon.$$

Así, por $m \geq M$ tenemos:

$$|t_m - a| \leq |t_m - s_n| + |s_n - a| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon.$$

Así que el reordenamiento converge.

(ii) no es cierto. Deje $\sum_n (-1)^n/n$, a continuación, tomar el$\rho$, el cual se asigna los números enteros injectively a los números enteros.

Answer 2

Sólo quiero dar una alternativa a prueba (i).

Decir que $\rho : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es inyectiva significa que por cada $n \in \mathbb{N}$, $\rho(n) \in \mathbb{N}$, y si $n \neq m$,$\rho(n) \neq \rho(m)$. Definir $S^*_n = |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|$, e $\tilde S^*_n = |a_{\rho(1)}| + |a_{\rho(2)}| + \cdots + |a_{\rho(n)}|$. Obviamente, puesto que $\rho$ es inyectiva, $\tilde S^*_n \leq |a_1| + |a_2| + |a_3| + \cdots$. Pero el lado derecho existe como un finito número no negativo (desde $\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty a_{n}$ converge absolutamente, o, de manera equivalente, $S^*_n$ converge). Por eso, $\tilde S^*_n$ es monótona creciente de la secuencia, delimitada desde arriba por $\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {|a_n |}$. Por lo tanto, $\tilde S^*_n$ converge a un número finito número no negativo $\tilde S^* \leq \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {|a_n |}$. Es decir, $\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty a_{\rho(n)}$ converge absolutamente para $\tilde S^*$.

Answer 3

Aquí hay una tercera alternativa a la declaración (i).

Deje$A=\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ y considere la secuencia de las sumas parciales$S_N=\sum_{n=1}^N |a_{\rho(n)}|$.

(1) Dado que$\rho$ es inyectivo$S_N\le A$ para todos$N$.

(2) Tenga en cuenta que$S_N\le S_{N+1}$ para todos$N$.

Por (1)$S_N$ tiene un límite inferior mínimo finito (que es$\sup S_N<\infty$), y por (2) la secuencia crece hasta ese límite.