geometría y topología

Question

Me preguntaba cuáles son las diferencias y las relaciones:

entre la geometría y la topología;

entre la geometría diferencial y la topología diferencial;

entre la geometría algebraica y la topología algebraica?

Por ejemplo:

¿Están estudiando objetos diferentes? ¿Por ejemplo, diferentes estructuras/espacios matemáticos?

si estudian el mismo objeto, pero estudian diferentes aspectos/propiedades del mismo objeto?

...

Leer sus páginas de wikipedia me confunde mucho.

Gracias y saludos.

Answer 1

Su pregunta es bastante vaga. Hay dos dinámicas paralelas que se dan cuando se aprenden las matemáticas. Por un lado, las matemáticas son extremadamente específicas, de modo que cuando se aprende un tema en detalle parece que todo lo que se sabe es ese tema y no parece haber relación con ningún otro. Pero una vez que entiendes algo, empiezas a notar patrones - ejemplos estándar que aparecen en muchos campos diferentes, pero en diferentes formas, construcciones estándar, muchas de las cuales encajan en marcos categóricos u otros marcos naturales que están más allá de lo específico de un campo. Así que, hasta cierto punto, existen amplios temas unificadores entre las asignaturas de matemáticas. En este sentido, hay muchas conexiones entre las asignaturas etiquetadas con nombres en los que se combinan dos de las palabras del conjunto {geometría(ic), topología, álgebra(ic)}.

Pero en su nivel más tosco y primitivo, hay grandes diferencias. La geometría algebraica se ocupa del estudio de las variedades algebraicas, es decir, de las soluciones de ecuaciones polinómicas. La topología geométrica se ocupa en gran medida del estudio de los colectores, que son como variedades pero sin singularidades, es decir, objetos homogéneos. La topología algebraica podría decirse que trata más bien del estudio de la homotopía o de los "agujeros en los espacios". Todas estas son descripciones inexactas, ya que en cierto sentido las definiciones de las materias están moldeadas por sus historias. Yo diría, por ejemplo, que la topología algebraica se define más por la naturaleza de las herramientas que emplea. Mientras que la topología geométrica está más motivada por los objetos sobre los que quiere demostrar teoremas. Esto también puede parecer una distinción artificial, ya que una "herramienta" no es un "objeto". La topología geométrica está muy motivada por los fenómenos de baja dimensión, y la propia noción de que los fenómenos de baja dimensión son especiales se debe a la existencia de una gran herramienta llamada el truco de Whitney, que permite convertir fácilmente ciertos problemas de la teoría de las variedades en problemas algebraicos (a veces bastante complicados). La cuestión es que el truco de Whitney falla en las dimensiones $4$ y más bajo. En ese sentido, la topología geométrica tiene algunas características de un viejo gruñón que se empeña en averiguar algo concreto. Y la topología algebraica, en cierto sentido, tiene más el aire de la persona que sigue la disposición natural del terreno desde alguna perspectiva formal.

Por ejemplo, es mucho más común en la comunidad de topología geométrica ir a una charla que es una ilustración de una idea, o un problema ilustrado enteramente por ejemplos: generar tablas de nudos o un censo de variedades, o probar una hipótesis por medio de un experimento computacional, etc.

Pero después de todo lo dicho, hay muchos vínculos entre estos campos y otros, por lo que a menudo es difícil desambiguarlos salvo de forma bastante patética y artificial.

No estoy seguro de que eso ayude en absoluto. Pero es una primera respuesta genérica.

Answer 2

Como complemento a la respuesta de Ryan:

La geometría diferencial suele estudiar las métricas riemannianas en las variedades y sus propiedades. Un resultado típico de la geometría diferencial es el teorema de la esfera , afirmando que si $M$ es una variedad cerrada dotada de una métrica de Riemann para la que las curvaturas seccionales se encuentran en el intervalo semiabierto $(1/4, 1]\,\,$ entonces $M$ es una esfera. Obsérvese que el objeto básico es una variedad dotada de una métrica riemanniana (a Colector riemanniano ), y el curvatura de la métrica juega un papel fundamental en el enunciado del teorema. Estas son las características típicas de los problemas/teoremas de la geometría diferencial. Nótese, sin embargo, que la conclusión del teorema implica una afirmación sobre la topología de $M$ por lo que ciertamente hay un solapamiento entre la geometría diferencial y las preocupaciones de la topología. (Se podría decir que el teorema de la esfera es un resultado global, que utiliza hipótesis geométricas para sacar conclusiones topológicas. También se pueden obtener resultados locales, en los que la topología no desempeña ningún papel en la hipótesis o las conclusiones: por ejemplo, que una variedad de Riemann con curvatura nula en todas partes es localmente isométrica con respecto al espacio euclidiano; también se pueden obtener resultados globales que comienzan con la topología y concluyen con la geometría: por ejemplo, que cualquier superficie orientable compacta de género 2 o superior admite una métrica de Riemann con curvatura constante $-1$ .)

La topología diferencial se refiere a los resultados sobre las variedades que son más directamente topológicas, y no se refieren a las estructuras métricas. Un ejemplo es la conjetura generalizada de Poincare (según la cual una variedad cerrada que es homotópica a una esfera es homeomorfa a una esfera); otro ejemplo más sencillo es el teorema de Ehresmann, que afirma que una inmersión entre variedades cerradas (o más generalmente, cualquier adecuado submersión) es un haz de fibras.

Por supuesto, estas distinciones pueden ser sutiles y no siempre están bien definidas, pero una distinción típica entre la geometría y la topología en general (y que se confirma en el que la geometría estudia las propiedades métricas de los espacios, mientras que la topología estudia cuestiones que no implican nociones métricas (es el estudio de forma pura si quieres; el antiguo nombre análisis situs también arroja algo de luz sobre el significado de la topología).

Una advertencia es que, clásicamente, la geometría euclidiana se ramifica no sólo en otras geometrías como la geometría hiperbólica (esta ramificación fue precursora de la introducción por parte de Riemann de las nociones generales de colector y curvatura de Riemann), sino que dio lugar a otra rama conocida como geometría proyectiva. En la geometría proyectiva no se estudian las nociones métricas de distancia y ángulo (porque no se conservan con las transformaciones proyectivas), pero sí nociones como la de ser una línea recta o ser una sección cónica. Geometría algebraica es el tema moderno que se desarrolló a partir de la geometría proyectiva (entre otras fuentes; véase esta respuesta para una discusión de un problema bastante diferente --- calcular integrales elípticas --- que fue otro precursor histórico de la geometría algebraica). En la geometría algebraica se estudia variedades que son conjuntos de soluciones a ecuaciones polinómicas; así, en su forma elemental, se parece mucho a lo que se llama geomería analítica en la escuela secundaria, es decir, estudiar figuras en el plano, o en el espacio, recortadas por ecuaciones en las coordenadas.

¿Por qué es esto geometría (a diferencia de topología ¿digamos)? Porque resulta que cuando las funciones que uno utiliza para recortar figuras, o describir mapas entre figuras, se restringen a ser polinómicas, los objetos que uno obtiene son bastante rígidos, de una manera muy similar a la forma en que las figuras de la geometría euclidiana más tradicional son rígidas. Así que uno tiene la sensación de estar haciendo geometría, en lugar de topología. (En cambio, en la topología, las cosas parecen más bien fluidas, ya que se puede deformar los objetos de forma bastante extrema sin cambiar su naturaleza topológica esencial). Y, de hecho, resulta que hay conexiones más profundas entre la geometría algebraica y la métrica: por ejemplo, para una superficie orientable compacta de género al menos 2, resulta que las posibles formas de realizar esta superficie como una variedad algebraica sobre los números complejos están en una biyección natural con las posibles elecciones de una métrica de curvatura constante -1 en la superficie. Un ejemplo más reciente es la conjetura de Calabi demostrada por Yau.

Answer 3

Tengo la misma pregunta cuando escuché la palabra Topología durante el estudio de cómo renderizar una malla en el ordenador. Ahora entiendo la diferencia entre Topología y Geometría. Sin perder la generalidad, tome una malla triangular como ejemplo porque los espacios/complejos pueden encontrar una triangulación.

La topología es una estructura o un marco entre los elementos que se pueden encontrar en un complejo (por ejemplo, una superficie 2D). No cabe duda de que el esqueleto del complejo es también un conjunto de elementos (por ejemplo, vértices, aristas, caras). Siempre tengo en cuenta que la Topología es un estudio de vecindad para la Geometría. Esto era lo que sabía durante el comienzo. Luego, la construcción de espacios, colectores, etc. son temas más avanzados.

La geometría es el estudio de la realización del esqueleto. Las realizaciones son mapas del concepto abstracto del espacio múltiple a su vida real $R^3$ . La más sencilla sería la malla triangular que ha sido ampliamente utilizada por muchas industrias. Las realizaciones son ecuaciones planas para cada cara->triángulo. Todos los esqueletos existen en el mismo espacio simultáneamente.