¿Cómo probar que para cualquier$A$ es una$2\times2$ matriz con elementos reales existen$B$ y$C$ para que$A=B^2+C^2$? Hasta ahora, he utilizado el teorema de Cayley-Hamilton y tengo:$A =$$\frac{1}{Tr(A)}A^2 + \frac{det(A)}{Tr(A)}I_n$. Sé que necesito un rastro positivo, así que elijo$A_1 = A + tI_n$ y$\lim_{t\to∞}(A + tI_n) = \infty$
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Jukka Dahlbom
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En primer lugar, tomamos nota de que, si $A$ real de los autovalores, es similar a una matriz en la forma canónica de Jordan.
Si $A = \pmatrix{\lambda_1\\&\lambda_2}$$\lambda_1 \leq \lambda_2$, entonces: si $\lambda_1 \geq 0$, tenemos $$ A = \pmatrix{\sqrt{\lambda_1}\\&\sqrt{\lambda_2}}^2 + 0^2 $$ Si $\lambda_1 < 0$, tenemos $$ A = \pmatrix{0 & -\sqrt{|\lambda_1|}\\ \sqrt{|\lambda_1|} & 0}^2 + \pmatrix{0&0\\0&\sqrt{\lambda_2 - \lambda_1} }^2 $$ Si $A = \pmatrix{\lambda&1\\0&\lambda}$$\lambda > 0$, tomar $$ A = \pmatrix{\sqrt{\lambda} & 1/(2\sqrt{\lambda})\\0&\sqrt{\lambda}}^2 + 0^2 $$ Si $A = \pmatrix{\lambda&1\\0&\lambda}$$\lambda < 0$, tomar $$ A = \pmatrix{1&1/2\\0&1}^2 + \pmatrix{0&-\sqrt{1-\lambda}\\ \sqrt{1-\lambda}&0}^2 $$
Si $A$ tiene complejo de autovalores, es similar a una matriz de la forma $$ \pmatrix{a&b\\b&} $$ Para esta matriz, podemos tomar $$ A = \pmatrix{c y-d\\d&c}^2 + 0^2 $$ donde $c,d$ son tales que $(c + di)^2 = a+bi$.
