Hay que calcular el mayor número posible de dígitos de $\sqrt{2}$ con un bolígrafo y un papel (una goma de borrar si tienes suerte...) en 5 minutos.
¿Qué vas a hacer? ¿Cuál es su justificación para hacerlo?
La cuestión de fondo es la eficiencia del algoritmo y la facilidad para realizar los cálculos asociados manualmente.
Yo optaría por el siguiente enfoque: para empezar, estimar cuántos dígitos soy capaz de obtener de la división entera entre dos números enteros grandes en unos tres minutos. Yo no soy tan rápido, así que estimo ser capaz de dividir dos $16$ -números de dígitos. Entonces recuerdo que $3+2\sqrt{2}$ es una unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y calcular $(3+2\sqrt{2})^{2^{m}}$ mediante la repetición de la cuadratura:
$$ (3,2)\to(17,12)\to(577,408)\to (665857,470832)\to (886731088897,627013566048) $$ por el mapeo $(a,b)$ que representa $a+b\sqrt{2}$ En $((a+b)(a+2b)-3ab,2ab)$ . Los números han crecido mucho, así que me detengo antes de conseguir algo que no soy capaz de manejar. He calculado la convergencia de la fracción continua de $\sqrt{2}$ así que sé de antemano que..: $$\left|\sqrt{2}-\frac{886731088897}{627013566048}\right|\leq\frac{1}{627013566048^2}.$$ Entonces divido $886731088897$ por $627013566048$ y conseguir: $$ \sqrt{2} = 1.414213562373095\ldots .$$
El método del andamio para la raíz cuadrada es descrito aquí y parte del ejemplo es se muestra allí . Para lápiz y papel, este sería mi algoritmo preferido. Es tan complicado como la división larga. Este es el método que se utiliza a menudo para la raíz cuadrada en un ábaco. $$ \begin{array}{rl} &\,\,\,\ 1.\hphantom{0}4\,\hphantom{0}1\,\hphantom{0}4\,\hphantom{0}2\,\hphantom{0}1\,\hphantom{0}3\,\hphantom{0}5\,\hphantom{0}6\\ &\sqrt{2.00\,00\,00\,00\,00\,00\,00\,00}\\ 1\times1\to&\,\,\ \ \underline{1.}\\ &\,\,\ \ 1.00\\ \color{#C00000}{2}4\times4\to&\,\,\ \ \hphantom{1.}\underline{96}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.0}4\,00\\ \color{#C00000}{28}1\times1\to&\,\,\ \ \hphantom{1.0}\underline{2\,81}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.0}1\,19\,00\\ \color{#C00000}{282}4\times4\to&\,\,\ \ \hphantom{1.0}\underline{1\,12\,96}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.00\,0}6\,04\,00\\ \color{#C00000}{2828}2\times2\to&\,\,\ \ \hphantom{1.00\,0}\underline{5\,65\,64}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,}38\,36\,00\\ \color{#C00000}{28284}1\times1\to&\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,}\underline{28\,28\,41}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,}10\,07\,59\,00\\ \color{#C00000}{282842}3\times3\to&\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,0}\underline{8\,48\,52\,69}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,0}1\,59\,06\,31\,00\\ \color{#C00000}{2828426}5\times5\to&\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,0}\underline{1\,41\,42\,13\,25}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,00}\,17\,64\,17\,75\,00\\ \color{#C00000}{28284270}6\times6\to&\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,00}\,\underline{16\,97\,05\,62\,36}\\ &\,\,\ \ \hphantom{1.00\,00\,00\,00}\,67\,12\,12\,64\\ \end{array} $$ La parte roja es el doble de la raíz cuadrada calculada hasta ahora. Luego se añade el siguiente dígito y se multiplica todo por el siguiente dígito. La idea detrás de este algoritmo es que $$ \underbrace{(a+b)^2-a^2}_{\begin{array}{c}\text{amount that adding}\\\text{$b$ as the next digit}\\\text{increases the square}\end{array}}=\underbrace{(\color{#C00000}{2a}+b)b}_{\begin{array}{c}\text{amount to decrease}\\\text{the remainder}\end{array}} $$ donde $a$ es diez veces la raíz cuadrada calculada hasta ahora (porque añadimos los dos siguientes dígitos del cuadrado al resto) y $b$ es el siguiente dígito.
Tenga en cuenta que $2-1.41421356^2=0.0000000067121264$ que es el resto actual.
Yo haría algunos pasos del método de Newton para encontrar el recíproco de la raíz cuadrada de $a$ utilizando $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-a$ con $a=2$ por supuesto, que tiene la ventaja de que la iteración de Newton no necesita una división: $$ x_{n+1} = \frac{x_{n}(3-ax_n^2)}{2} $$ Multiplica el último resultado por $a$ para conseguir $\sqrt a$ .
A partir de $x_0=1$ , seis pasos te dan 11 decimales correctos. Por supuesto, esto depende de cuántos decimales utilices en los pasos intermedios...
Tal vez la bisección funcione mejor, ya que los pasos son mucho más sencillos, pero se necesitarán unos 20 pasos para obtener 6 o 7 decimales. Aburrido pero factible.
Si me dieran cinco minutos, dedicaría 4 minutos a calcular otros tantos elementos de la serie
$$\sqrt{1+x} = 1+\frac12 x -\frac18 x^2 + \frac1{16} x^3 - \frac5{128}x^4 +\frac{7}{256}x^5 - \frac{21}{1024} x^6\dots$$
Entonces, después de $4$ minutos, tomaría el número $x$ Lo tengo y lo cuadro. Si tengo menos de $2$ Entonces, aumentaría el décimo dígito de $x$ y elevar el número al cuadrado de nuevo, para ver si el primer $10$ dígitos son correctos. Si lo son, comprobaría si el undécimo dígito es correcto y así sucesivamente hasta encontrar el punto en el que empiezan a producirse los errores.
¿Por qué este segundo paso? Bueno, si no lo realizo, no conozca para saber si alguno de los dígitos es correcto. Sin embargo, como sé que, por ejemplo, $$1.414^2<2<1.415^2$$
Puedo decir que $1.414 < \sqrt 2 < 1.415$ lo que significa que al menos los dos primeros dígitos son correctos.
Consideremos la serie binomial
$$\begin{align*} (1-x)^{\frac12}&=1-\frac12x-\frac{\frac12\frac12}{2!}x^2-\frac{\frac12\frac12\frac32}{3!}x^3+\cdots\\ &=1-\frac x2\left(1+\frac12\frac x2\left(1+\frac33\frac x2\left(1+\frac54\frac x2(1+\cdots)\right)\right)\right) \end{align*}$$
Sustituyendo $x=\frac1{50}$ ahora da una serie que da aproximadamente 2 dígitos decimales por término (inicialmente al menos), y es realmente rápido de calcular a mano:
$$\begin{array}{rl} 1-\frac7{10}\sqrt2=&0.0100000000000\\ +&\phantom{0.00}00500000000\\ +&\phantom{0.0000}005000000\\ +&\phantom{0.000000}0062500\\ +&\phantom{0.00000000}00875\\ +&\phantom{0.0000000000}013125\\ =&0.0100505063388(3) \end{array}$$
El error es fácil de acotar como una progresión geométrica con relación $\frac1{50}$ es decir, como máximo $\frac1{49}$ del término final añadido.
Así,
$$\begin{array}{rl} 7\sqrt2&=9.899494936612(3)\\ \sqrt2&=1.414213562373(1) \end{array}$$
que es preciso hasta el último (12º) dígito.
El hecho de que este método se adapte tan bien al cálculo a mano es en gran medida una coincidencia, porque $\frac75$ es un convergente en la fracción continua de $\sqrt2$ , dándonos $7^2\approx\frac{100}2$ . Todavía no he encontrado una variación que dé, digamos, $\sqrt3$ a 12 dígitos con una cantidad de trabajo comparable.
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