Una prueba diferente para "Si$f$ es Riemann integrable, entonces también lo es$f^2$"

Question

Teorema :

Si $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$, Entonces también lo es $f^2$.

Hay muchas pruebas de este teorema. Pero no quiero que las pruebas que el uso de $U(f,P)$$L(f,P)$. Mi libro da otras definiciones :

$S(f,P^t)=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$

$\omega(f,[a,b])=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}-\inf\{f(x):x\in[a,b]\}$

Podemos decir $f:[a,b] \to \mathbb R$ es Riemann integrable en $[a,b]$, si no existe $L$ tal forma que :

Para cada una de las $\epsilon \gt 0$ existe $\delta \gt 0$ tal que para cada etiqueta de la partición de $P^t$ tal que $||P^t|| \lt \delta$ , Tenemos :
$|S(f,P^t)-L|\lt \epsilon$

Esta definición no está relacionado con el $U(f,P)$ $L(f,P)$ y La pregunta que nos quiere a prueba el teorema anterior con esta definición y las propiedades de $\omega(f,[a,b])$. Creo que esta propiedad ayuda a :

$\omega(f^2,[a,b]) \le 2M\omega(f,[a,b])$ ( $M$ es la cota de $f$ )

Mi problema es que yo no puedo volver a escribir esta definición de forma que $f^2$ se convierte Riemann integrable.

Editar :

Tenemos dos teoremas relacionados que creo que puede ayudar a :

1. Un almacén de la función $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ si y sólo si para cada una de las $\epsilon \gt 0$ existe $\delta \gt 0$ tales que para cada uno de los dos partitionings $P_1^t$ $P_2^t$ de manera tal que sus normas son de menos de $\delta$ , $|S(f,P_1^t)-S(f,P_2^t)| \lt \epsilon$

2. Suponga que $f$ es una limitada función definida en $[a,b]$. Suponga que $P_1=\{z_i:0\le i\le n\}$ es una partición de a $[a,b]$ $P_2$ es una elegante creación de particiones para $P_1$ ( lo que Significa que tiene más puntos ) Si $P_1^t$ $P_2^t$ son dos etiquetados partitionings para $[a,b]$ derivado de $P_1$,$P_2$ , Entonces :

$|S(f,P_1^t)-S(f,P_2^t)| \le \sum_{i=1}^n \omega(f,[z_{i-1},z_i])(z_i-z_{i-1})$

Answer 1

$\newcommand{\eps}{\varepsilon}$Sugerencias para el uso de su libro definiciones:

1. Para cada $\eps > 0$, y para cada partición $P = (z_{i})_{i=0}^{n}$$[a, b]$, existen etiquetados $P_{1}^{t}$ $P_{2}^{t}$ tal que $$ \sum_{i=1}^{n} \omega(f, [z_{i-1}, z_{i}])(z_{i} - z_{i-1}) \leq |S(f, P_{1}^{t}) - S(f, P_{2}^{t})| + \eps. \etiqueta{*} $$ Prueba: Para cada subinterval $I = [z_{i-1}, z_{i}]$, elija la etiqueta $t_{i}$$P_{1}^{t}$, de modo que $$ 0 \leq \sup_{x \in I} f(x) - f(t_{i}) < \frac{\eps}{2(b-a)}, $$ y elija la etiqueta $t'_{i}$$P_{2}^{t}$, de modo que $$ 0 \leq f(t'_{i}) - \inf_{x \in I} f(x) < \frac{\eps}{2(b-a)}. $$ Reorganización de da $$ \sup_{x \in I} f(x) - \inf_{x \in I} f(x) < f(t_{i}) - f(t'_{i}) + \frac{\eps}{b}. $$ Suma más de $i$ da la desigualdad (*).

2. Para cada intervalo de $I$$[a, b]$, usted tiene $\omega(f^{2}, I) \leq 2M\, \omega(f, I)$.

Se puede tomar desde aquí?