$L_{p}(\mathbb{T})$ No es uniformemente convexo si$p \in \{1,\infty\}$.

Question

¿Cómo puedo probar que$L_{p}(\mathbb{T})$ no es uniformemente convexo si$p \in \{1,\infty\}$. Aquí $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$

Answer 1

Por ejemplo, puede tomar$f = \chi_{[0,2/3)}$ y$g = \chi_{[1/3,1)}$ y observar que$\lVert (1-t)f + tg\rVert_p$ es independiente de$t \in [0,1]$ $p = 1$Y$p=\infty$ ni siquiera son estrictamente convexos .