Dimensión de Krull de $\mathbb Z[\sqrt 5]$ y extensiones anulares integrales

Question

Sé que todo ideal primo distinto de cero en un dominio Dedekind es maximal. Dado que $\mathbb Z[\sqrt 5]$ no es integralmente cerrado en su campo de fracciones $\mathbb Q[\sqrt 5]$ me pregunto si aún podemos demostrar que los primos distintos de cero son maximales.

De forma más general, ¿se sabe para cuál de los cuadrados libres $D\in \mathbb Z$ hay primos no nulos de $\mathbb Z[\sqrt D]$ que no sean maximales.

Answer 1

El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ es integral sobre $\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, un ideal primo $P$ de la misma es maximal si y sólo si el ideal primo $p:=P\cap\mathbb{Z}$ es máxima. Puesto que todos los ideales primos no nulos de $\mathbb{Z}$ son máximos obtenemos que todos $P$ tal que $P\cap\mathbb{Z}\neq 0$ son máximos. Esta última condición es equivalente a $P\neq 0$ lo que prueba la afirmación.

Answer 2

A continuación se muestra una demostración directa muy sencilla para cualquier anillo $\,R\,$ de enteros algebraicos.

Lema $\ $ Si $\ I \supsetneq P\ $ son ideales de $\,R,\,$ avec $\,P\,$ primo entonces hay un número entero $\,f_k\in I\,$ pero $\,f_k\not\in P\,.$

Prueba $\ $ Elija $\,\alpha\in I,\ \alpha\not\in P\,.\,$ Siendo un entero algebraico, $\,f(\alpha) = 0\,$ para un monic $\,f(x)\in \mathbb Z[x],\ $ $\,f(x) \, =\, x^n +\cdots + f_1\ x +\, f_0\,.\,$ Nota $\,f_n = 1\not\in P\,.\,$ Sea $\,k\,$ ser menos con $\,f_k\,\not\in P.\,$ $\ f(\alpha) = 0\in P\,$ $\, \Rightarrow\,$ $\,(\alpha^{n-k}+\cdots+f_k)\ \alpha^k\in P,\ \alpha\not\in P$ $\,\Rightarrow\,$ $\,\alpha^{n-k}+\cdots+f_k\in P\subset I\,.\,$ Así que $\ \alpha\in I$ $\,\Rightarrow\,$ $\,f_k \in I\,.\ $ QED

Corolario $\, $ Una cadena propia de ideales primos en $\,R\,$ no puede contraerse a una cadena más corta en $\,\mathbb Z\,.$

Observación $\ $ Alternativamente, reducir al caso más simple $\,P = 0\,$ a través de factorizar el primo $\,P\,.\,$ Entonces $\,f_k\,$ es el término constante de un polinomio mínimo para $\,\alpha\,$ sobre un dominio Así que $\,f_k\ne 0,\,$ es decir $\,f_k\not\in P,\,$ que se explica con mucho detalle en este puesto, como generalización de racionalizar los denominadores.

En términos más generales, las extensiones de anillos integrales conservan la dimensión (de Krull) . De forma aún más general, se conserva mediante extensiones de anillos que satisfacen tanto GU (ir hacia arriba) como INC (incomparables). Para una demostración, véase Kaplansky, Anillos conmutativos Teorema 48. Para mucho Para más información sobre cómo GU,INC y LO (lying over) se relacionan con la integralidad de las extensiones de anillos (y homs), véase el artículo de Dobbs citado en esta respuesta .

Answer 3

Nueva respuesta

Después de haber leído la hermosa respuesta de Bill Dubuque, reescribo la mía.

Para responder a la pregunta formulada, lo más sencillo parece demostrarlo.

Si $P$ y $I$ son ideales de $\mathbb Z[\sqrt5]$ y si $P$ es primo, entonces $$ P < I\quad\implies\quad\mathbb Z\cap P\ < \ \mathbb Z\cap I, $$ donde $ < $ significa "adecuadamente contenido en".

Para verlo, configure $x=a+b\sqrt5$ avec $a,b\in\mathbb Z$ y que $x$ estar en $I$ pero no en $P$ . En
$$ x':=a-b\sqrt5,\quad t:=x+x'=2a,\quad n:=xx'=a^2+5b^2, $$ tenemos $$ x^2-tx+n=0. $$ Si $n$ no está en $P$ hemos terminado porque $n$ está en $\mathbb Z\cap I$ . Si $n$ está en $P$ entonces también lo es $x-t$ y $t$ está en $\mathbb Z\cap I$ pero no en $P$ .

En términos más generales, si $B$ es un anillo (conmutativo), si $A$ es un subring, si $B$ es integral sobre $A$ si $P$ y $I$ son ideales de $B$ y si $P$ es primo, entonces $$ P < I\quad\implies\quad A\cap P\ < \ A\cap I. $$ En efecto, al tomar el cociente por $P$ podemos suponer que $B$ es un dominio, y que $P=0$ . Sea $x$ sea un elemento no nulo de $I$ y que $f\in A[X]$ un polinomio mónico de grado mínimo tal que $f(x)=0$ . Entonces el término constante de $f$ es un elemento no nulo de $I\cap A$ .

Respuesta antigua

En vista del segundo Corolario de la página 7 del texto [1] de Mel Hochster, si un anillo $B$ es integral sobre su subring $A$ entonces $A$ y $B$ tienen la misma dimensión de Krull.

Esto demuestra, en particular, que si un anillo $A$ está entre $\mathbb Z$ y el anillo de enteros de un campo numérico, entonces $A$ tiene dimensión de Krull $1$ es decir, sus primos no nulos son máximos.

[1] Extensiones integrales y dependencia integral: archivo pdf --- página html .