Un ejemplo de un grupo tal que$G \cong G \times G$

Question

Yo estaba tratando de encontrar un ejemplo tal que$G \cong G \times G$, pero no estoy recibiendo en cualquier lugar. Obviamente ningún grupo finito lo satisface. ¿Qué es ese grupo?

Answer 1

Tome$$G = H \times H \times H \times \cdots$$ for $ H $ cualquier grupo no triviales.

Answer 2

Sea$G$ el grupo trivial, por el único ejemplo finito.

Answer 3

Deje$G = \mathbb Z ^ \mathbb N$ (con adición puntual como el producto). A continuación, permita que$f:G \times G \longrightarrow G$ be$$f(g,h)(n) = \begin{cases} g(k), &n = 2k \\ h(k), &n = 2k+1 \end{cases}$ $ Puede verificar que$f$ es un isomorfismo.

Answer 4

Creo que es un problema abierto si existe o no un grupo finitamente presentado$G$ satisfying$G \simeq G \times G$. Sin embargo, se conocen varios grupos finitamente generados. Probablemente el primer ejemplo fue dado por Jones en productos Direct y la propiedad Hopf .

Answer 5

Como otros han mencionado, el grupo trivial satisface esta propiedad por razones que no tienen nada que ver con la teoría de grupos. Si una categoría tiene productos binarios y un objeto terminal$1$ then$A \times 1 \cong A$ de una manera canónica. Por supuesto, también tenemos$A \times B \cong B \times A$ canónicamente, así que de hecho un objeto terminal sirve como una unidad para el producto. Así,$1 \times 1 \cong 1$.

En el caso de la categoría de grupos tenemos productos y un objeto terminal (el grupo trivial) así que esto se cumple.