Evaluar

Question

Quiero probar que este límite:

ps

es igual a $$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n$

Pero no sé cómo!

Answer 1

$$y=\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n$% $$$\implies \log y= n\log \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}$ $ La aplicación de la regla de LH, obtendremos$n=\frac{1}{p}$ $$ n \rightarrow \infty, p\rightarrow 0$ $% ps

Answer 2

Como de costumbre cuando ves la variable en exponente, la estrategia es tomar registros. Así, si$L$ es el límite deseado entonces \begin{align} \log L &= \log\left\{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{a^{1/n} + b^{1/n}}{2}\right)^{n}\right\}\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\log\left(\frac{a^{1/n} + b^{1/n}}{2}\right)^{n}\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}n\log\left(\frac{a^{1/n} + b^{1/n}}{2}\right)\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}n\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{a^{1/n} + b^{1/n} - 2}{2}\right)}{\dfrac{a^{1/n} + b^{1/n} - 2}{2}}\cdot\dfrac{a^{1/n} + b^{1/n} - 2}{2}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}n(a^{1/n} - 1) + n(b^{1/n} - 1)\notag\\ &= \frac{1}{2}(\log a + \log b)\notag\\ &= \frac{1}{2}\log ab\notag \end {align} Por lo tanto,$L = \sqrt{ab}$. Aquí he utilizado dos límites fundamentales$$\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1,\,\lim_{n \to \infty}n(x^{1/n} - 1) = \log x$ $

Answer 3

Vale la pena observar que esta pregunta es el caso especial de mostrar que el límite de la media de potencia$p^{\rm th}$ como$p \to 0^+$ es igual a la media geométrica, para dos números$a, b > 0$. Defina la media de potencia$p^{\rm th}$ de una secuencia de números positivos$\boldsymbol x = (x_1, \ldots, x_m)$ para un% real% distinto a cero$p$$$M_p(\boldsymbol x) = \left(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m x_i^p \right)^{1/p}.$$ Then we have $ $ la media geométrica . La prueba se da en este artículo de Wikipedia .

Answer 4

INSINUACIÓN:

Utilizar

$$ \begin{align} \left(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2}\right)^n&=\left(\frac{e^{\frac{1}{2n}(\log(a)+\log(b))}\left(e^{\frac1{2n}(\log(a)-\log(b))}+e^{-\frac1{2n}(\log(a)-\log(b))}\right)}{2}\right)^n\\\\ &=\sqrt{ab}\cosh^n\left(\frac{\log\left(\sqrt{a/b}\right)}{n}\right) \tag 1 \end {align} $$

Y el teorema de squeeze.

SPOILER ALERT: Desplácese por el área resaltada para revelar la solución

A partir de$(1)$, necesitamos evaluar el límite$$\lim_{n\to \infty}\cosh^n\left(\frac{\log\left(\sqrt{a/b}\right)}{n}\right)$$We can use the inequalities $$1\le \cosh(x)\le \frac{1}{1-x^2}$% (X) = 1 O (x ^ 2)$for $$. Then, for $$ sufficiently large$$1\le \cosh^n\left(\frac{\log\left(\sqrt{a/b}\right)}{n}\right)\le \left(1-\frac{\log^2\left(\sqrt{a/b}\right)}{n^2}\right)^{-n}\le \frac{1}{1-\frac1n \log^2\left(\sqrt{a/b}\right)}$ $ Como se mostraría!

Answer 5

A pesar de que hay otras soluciones, sólo quería dar una que es bastante simple. Si pudiéramos demostrar que esta secuencia está disminuyendo (sospecho que el diablo está en los detalles de ésta) podríamos emplear la desigualdad media aritmética-geométrica. Encontraríamos:

ps

Dado que se trata de una secuencia decreciente limitada a continuación, el límite debe ser el infimum.