Hace poco he leído acerca de un número de diferentes nociones de "título". La lectura de más de Javier Álvarez' excelente respuesta por milésima vez finalmente me llevó a hacer esta pregunta:
¿Cómo es exactamente lo que los siguientes tres nociones de "grado" coinciden?
(1) Topología Algebraica. Deje $f\colon X \to Y$ ser un mapa continuo entre los compactos conectado orientado $n$-colectores.
Wikipedia me dice que $H_n(X) \cong H_n(Y) \cong \mathbb{Z}$, y que una elección de orientaciones para $X$ $Y$ cantidad de opciones de generadores $[X], [Y]$$H_n(X), H_n(Y)$, respectivamente. A continuación definimos $\deg f$ través $$f_*([X]) = (\deg f)[Y].$$
(2) Topología Diferencial. Deje $f\colon X \to Y$ ser suave, un mapa entre orientado $n$-colectores, donde $X$ es compacto y $Y$ está conectado.
Deje $y \in Y$ regular valor de $f$ (que existe por Adrs del Teorema), vamos a $D_xf\colon T_xX \to T_yY$ denotar la derivada (un.k.una. pushforward), y definir $$(\deg f)_y = \sum_{x \in f^{-1}(y)}\text{sgn}(\det D_xf).$$ Se puede demostrar que $(\deg f)_y$ es independiente de la elección de $y \in Y$, por lo que podemos hablar realmente sobre una sola cantidad $\deg f = (\deg f)_y$.
(3) Las Superficies De Riemann. Deje $f\colon X \to Y$ ser un holomorphic mapa entre los compactos conectado superficies de Riemann.
Para $x \in X$, dejamos $\text{mult}_x(f)$ denotar la multiplicidad de $f$$x \in X$. Para $y \in Y$, definimos $$(\deg f)_y = \sum_{x \in f^{-1}(y)} \text{mult}_x(f).$$ Como en (2), se puede demostrar que $(\deg f)_y$ es independiente de la elección de $y \in Y$. (Este generalizar arbitraria de complejos colectores?)
Pensamientos: Como fue mencionado en mi topología de la clase el semestre pasado (y también en la Wikipedia), no es este concepto de "homología", que nos permite calcular (1) como una suma de "local grados."
Me imagino que en el caso de (2), cada uno de estos grados es, de hecho, igual a $\text{sgn}(\det D_xf)$ porque $f$ es un local diffeomorphism en cada punto a regular $x$. Imagino también que en el caso de (3), cada uno de estos grados es, de hecho, igual a $\text{mult}_x(f)$ debido a que el grado de $\mathbb{S}^n \to \mathbb{S}^n$, $z \mapsto z^k$ es $k$. (¿Esto también significa que $f$ no es normal en cualquier punto donde $\text{mult}(f) \geq 2$? Esto tendría sentido, pero ¿cuál es la prueba?)
Todo esto parece correcto en mi cabeza, pero realmente me gustaría más detalles si es posible.
