Prueba de que $n(n^2+5)$ es divisible por 6 para todo entero $n \ge 1$ por inducción matemática

Question

Demuestra la siguiente afirmación por inducción matemática:
$n(n^2+5)$ es divisible por 6 para todo entero $n \ge 1$

Mi intento:
Sea la afirmación dada p(n).
(1) $1(1^2+5)$=6 Por lo tanto, p(1) es verdadero.

(2) Supongamos que para todo entero $k \ge 1$, p(k) es verdadero.
Es decir, $k(k^2+5)$ es divisible por 6

Debemos mostrar que p(k+1) es verdadero.
$(k+1)((k+1)^2+5)$=$k^3+3k^2+3k+1+5(k+1)$
\=$k^3+3k^2+8k+6$
\=$k(k^2+5)+3k^2+3k+6$

Estoy atascado en este paso. Siento que debo mostrar que $3k^2+3k+6$ es divisible por 6. Pero, ¿cómo puedo demostrar que $3k^2+3k+6$ es divisible por 6?

Answer 1

Si $f(n)=n(n^2+5)$

$f(k+1)-f(k)$ $=(k+1)\{(k+1)^2+5\}-k(k^2+5)=3k^2+3k+1+5=6\cdot\dfrac{k(k+1)}2+6$ que es divisible por $6$ ya que $k(k+1)$ es par

$\implies6\mid f(k)\iff6\mid f(k+1)$

Si la inducción no es obligatoria,

$$n(n^2+5)=\underbrace{(n-1)n(n+1)}_{\text{Producto de tres enteros consecutivos}}+6n$$

Answer 2

Primero, muestra que esto es cierto para $n=1$:

$1(1^2+5)=6$

Segundo, asume que esto es cierto para $n$:

$n(n^2+5)=6k$

Tercero, demuestra que esto es cierto para $n+1$:

$(n+1)((n+1)^2+5)=$

$\color\red{n(n^2+5)}+3n^2+3n+6=$

$\color\red{6k}+3n^2+3n+6=$

$6\left(k+\frac{n(n+1)}{2}+1\right)$

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Dado que tanto $n$ como $n+1$ son pares, $\frac{n(n+1)}{2}$ es un número entero.

Por favor, nota que la suposición solamente se utiliza en la parte marcada en rojo.

Answer 3

Pista: sea $$f(n)=n(n^2+5),n\geq1$$ entonces $$f(n+1)=(n+1)(n^2+2n+6)=n^3+2n^2+6n+n^2+2n+6=n^3+3n^2+8n+6=$$ $$=n^3+5n+3n^2+3n+6=3(n^2+n)+6+n(n^2+5)=f(n)+6\left(\frac{n(n+1)}{2}+1\right)$$

Answer 4

Estoy completamente confundido. Tres horas antes de preguntar esto, preguntaste (y te respondieron) esto: Prueba de que para todo entero $n \ge 2$, $n^3-n$ es divisible por 6 por inducción matemática.

En esa pregunta pediste, y obtuviste respuesta para, cómo demostrar que $6| 3k^2 + 3k$. En esta pregunta estás pidiendo cómo demostrar que $6| 3k^2 + 3k + 6.

¿Cómo puedes saber la respuesta a una pero no la respuesta a la otra?

Respuesta a ambas: $3|3*h$ para cualquier entero h, por lo tanto $3|3(k^2 + k)$. Si $k$ es impar, entonces también lo es $k^2$, entonces $k^2 + k$ es la suma de dos números impares y es par. Si $k$ es par, entonces $k^2$ también es par y lo es $k^2 + k$. Por lo tanto, $k^2 + k$ es par. Entonces $2|(k^2 +k)$ y por lo tanto $6|3(k^2 + k)$ y por lo tanto $6|3(k^2 + k) + 6$.

PD: $n(n^2 + 5) = n^3 + 5n = (n^3 -1) + 6n$ por lo que uno es divisible por 6 si y solo si el otro lo es.