Pregunta Potencialmente Útil

Question

He estado resolviendo problemas usando una hoja de "Potencialmente Útiles Fórmulas" de mi estimado profesor de matemáticas. Quiero resolver para:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

En mi hoja de fórmula tengo:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Que se parece a lo que quiero, pero no del todo. ¿Puede alguien dirigirme hacia la solución (o proporcionar la solución con la explicación?

Answer 1

Esto es sólo un boceto de uno de los muchos posibles pruebas.

Paso 1. Demostrar que en el intervalo de $[0,2\pi]$, la función de: $$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}$$ es un segundo grado polinomio cuya gráfica pasa por los puntos: $$(0,\pi^2/6),\quad (\pi,-\pi^2/12),\quad (2\pi,\pi^2/6).$$

Paso 2. Deducir, a partir de la interpolación de Lagrange que: $$ f(x) = \frac{\pi^2}{6}-\frac{x(2\pi-x)}{4}.$$

Paso 3. Aplicar la identidad de Parseval para $f(x)$: $$\int_{0}^{2\pi}f(x)^2\,dx = \pi\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}.$$

Paso 4. Demostrar, a través de la segunda etapa, que: $$\int_{0}^{2\pi}f(x)^2\, dx = \frac{\pi^5}{90}.$$

Conclusión:

$$\zeta(4)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.$$