$\int f\,d\mu = \int f\,d\nu$ implica que $\mu = \nu$?

Question

Supongamos que$\mu$ y$\nu$ son medidas positivas finitas en el álgebra de Borel$\sigma$ tal que$[0, 1]$$$\int f\,d\mu = \int f\,d\nu$ f% #% [0, 1]$whenever $ \ mu = \ nu $?

Answer 1

Sí. Porque entonces las integrales son ciertamente iguales para cada delimitada, con un valor real, continua $f$, lo que equivale a decir que la constante de secuencia $\mu, \mu, \dots$ converge débilmente a $\nu$, y, asimismo, que la constante de secuencia $\nu, \nu, \dots$ converge débilmente a $\mu$. Esto implica, por parte de la Unión Teorema que, para todos los conjuntos cerrados $C$, $\mu(C) = \nu(C)$. Ya que la colección de conjuntos cerrados contiene el espacio muestral $[0,1]$, está cerrado para intersecciones finitas (de hecho, a las intersecciones arbitrarias cardinalidad), y genera el Borel $\sigma$-álgebra, y desde $\mu, \nu$ son finitos, esto implica, por la singularidad de las medidas teorema, que $\mu = \nu$.