Integridad del contorno de$\sqrt{z^{2}+a^{2}}$

Question

Supongamos $a$ es real y no negativa. Decir que queremos calcular la función de arriba (por el motivo que sea, sea para resolver un inadecuado real integral, o algo más) a lo largo de la curva de $C$, como en la imagen. He elegido el contorno, como para evitar que la rama de cortar la conexión de los tres puntos de ramificación. Suponiendo $arg\left ( z \right ) \in \left [ 0, 2\pi \right )$ también hice parametrisations para cada parte del contorno. Sin embargo, yo no era capaz de hacerlo, para que las partes $C_{i}$, $i=1,2,3$.

En varias de las integrales como este y este Ron habla acerca de la asignación de una fase a los segmentos. A mí me parece que es la asignación de la fase como si el punto de ramificación de la que ahora era el origen del plano, y la fase que se añadió en relación a ese punto, estoy en lo cierto en esto? Con eso se dijo que yo iba a decir que $$C2: z=iye^{i\pi}$$ $$C3: z=iye^{-i\pi}$$ $$C1: z=iye^{i0}$$ Sin embargo, esto no se ve bien del argumento no estaba definido para $\left [ -\pi,\pi \right )$. ¿Cómo lidiar con estos cortes de ramas? Y cómo saber qué fase agregar? Tenga en cuenta que he pedido a una pregunta similar aquí para una función diferente, pero no he recibido respuestas satisfactorias(debido a mi mala redacción, supongo).

Answer 1

Deje $\Omega=\mathbb{C}\setminus[-\pi i,\pi i]$. Si $\gamma$ es un simple camino cerrado en $\Omega$, luego $$ \int_{\gamma}\frac{w}{w^2+a^2}dw $$ tiene un valor igual a $0,\pm 2\pi i,\pm 4\pi i,\pm 6\pi,\cdots$. Para cualquier $z \in \Omega$, definir $\gamma_{z}$ a ser un camino de $0$, a la derecha de $0$, con un punto de terminación de la $z\in\Omega$, y definir $$ G(z) = a\exp\left\{\int_{\gamma_z}\frac{w}{w^2+a^2}dw\right\}. $$ La función de $G$ no depende de la particular camino de $\gamma_z$, e $G(0)=a$. También, $$ G'(z)=G(z)\frac{z}{z^2+a^2},\;\;\; z\in\Omega. $$ Por lo tanto, $G(z)^2$ satisface la siguiente para $z\in\Omega$: $$ \frac{\frac{d}{dz}G(z)^2}{G(z)^2}=\frac{2z}{z^2+a^2}=\frac{\frac{d}{dz}(z^2+a^2)}{z^2+a^2}, \\ \frac{d}{dz}\frac{z^2+a^2}{G(z)^2}=0,\\ G(z)^2=C(z^2+a^2). $$ La evaluación en $z=0+$ da $C=1$. Por lo tanto, $G(z)^2=z^2+a^2$ o $G(z)$ es una raíz cuadrada de $z^2+a^2$.

El argumento de $G$ $0$ sobre el eje real positivo porque $\gamma$ puede ser elegido para un segmento de línea recta de $0+$ $z$sobre el eje real positivo. El argumento a lo largo de $C_1$ se encuentra por la integración de $$ \int_{0}^{r}\frac{\epsilon+} {(\epsilon+es)^2+a^2}ds $$