Probar que una secuencia es sumatoria cuadrada

Question

Sea$a_n$ una secuencia de números reales tal que$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n < \infty$ siempre$\sum_{n=1}^{\infty}b_n^{2}< \infty.$ Demuestre que$\sum_n a_n^2 < \infty.$

¿Puede alguien dar una pista para demostrar esto? No sé por dónde empezar. Estoy pensando en las líneas de la desigualdad de Schwarz.

Answer 1

EDIT: Aquí es una prueba de que el uso de la cerrada teorema de la gráfica de abajo.

Para $N \in \Bbb{N}$, definir el delimitada(!) funcional $$\varphi_N : \ell^2 \to \Bbb{K}, (b_n)_n \mapsto \sum_{n=1}^N a_n b_n.$$

Por su supuesto, usted tiene $\varphi_N ((b_n)_n) \to \varphi((b_n)_n) = \sum_n a_n b_n$ todos los $(b_n)_n \in \ell^2$.

Pero (como consecuencia de la acotamiento uniforme principio), un pointwise límite de limitada funcionales en un espacio de Banach es automáticamente acotada.

Como es abajo, es fácil ver que acotamiento de $\varphi$ implica $(a_n)_n \in \ell^2$.

De EDICIÓN adicional: Acotamiento de $\varphi$ implica $(a_n)_n \in \ell^2$ en menos de dos maneras:

1. Por Riesz teorema de representación, no es $(a_n ')_n \in \ell^2$ $\varphi((b_n)_n)=\sum a_n ' b_n$ todos los $(b_n)_n \in \ell^2$. Esto fácilmente los rendimientos $a_n = a_n '$ todos los $n$.

2. Para cada una de las $N$, vamos a $a^N$ ser la secuencia de $(a_n)_n$, pero con todo, pero la primera $N$ términos establecidos en cero. A continuación,$\|a^N \|_2^2 = \varphi (a^N) \leq \|\varphi\| \|a^N\|_2$. Por lo tanto, $\|a^N\|_2 \leq \|\varphi\|$ todos los $N$.

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En aras de la exhaustividad, todavía me incluir el argumento original:

Su hipótesis implica (¿por qué exactamente) que el lineal mapa $$ \Phi :\ell^2 \a \ell^1, (b_n)_n \mapsto (a_n b_n)_n $$ está bien definido.

Es sencillo comprobar que $\Phi$ ha cerrado gráfico. Por lo tanto, está limitada por la cerrada gráfico teorema.

Por lo tanto, el mapa $$ \ell^2 \a \Bbb{K}, (b_n)_n \mapsto\sum_n a_n b_n $$es un delimitada lineal funcional. A partir de esto, el reclamo fácilmente de la siguiente manera.