Cómo probar esta desigualdad de geometría

Question

En$\Delta ABC$, si$AD$ bisects$\angle BAC$,$MD$ #%,$\angle ADB$ ps

Mi idea: use si$ND$ bisects$\angle ADC$, entonces tenemos$$\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CN}\le\dfrac{4}{MN}$ $

Answer 1

Su declaración no puede ser probada porque es incorrecta. Tome las siguientes coordenadas:

\begin{align*} A &= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} & B &= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} & C &= \begin{pmatrix}\lambda\\0\end{pmatrix} \end{align*}

A continuación, en el límite de $\lambda\to+\infty$ consigue

$$\lim_{\lambda\+\infty} \frac{MN}{BM} + \frac{MN}{CN} = \lim_{\lambda\+\infty}\frac{MN}{BM} = \sqrt{\sqrt{4\sqrt2 + 8} + 4\sqrt2 + 8} \aprox 4.1656 > 4 $$

This result can either be obtained in a CAS of your choice, or – if you don't need the exact number and trust your floating point computations – in some suitable geometry program. In either case, the bottom line is that if you just move $C$ far enough, and have $\ángulo CBA$ sufficiently large, then the equation you stated will be violated.

Note that this is not the maximal violation. The nearest local maximum to this situation appears to be for $\aprox(0.16371,1)$, where the ratio reaches a value of $\frac{MN}{BM}\approx4.17098$. This was found using numeric optimization, so a nice symbolic expression for this is still missing. Chances are that you might be able to prove

$$\frac1{BM}+\frac1{CN}<\frac{4.2}{MN}$$

or something along these lines. To do this, you'd have to show that this local maximum is also the global one. The underlying function, in terms of the $x$ coordinate of both $$ and $C$, es

sqrt(4*((2*Ax - Cx)*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx^2/(4*(2*Ax - Cx)^2*Ax*Cx^2 -
(2*Ax - Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax -
Cx)^2) - 2)*Cx + sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax +
sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^2))*Cx) -
(2*(2*Ax - Cx)^2*Cx^3 + (2*Ax - Cx)*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax +
sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx^2)/(4*(Ax -
Cx)*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 - (2*Ax - Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx - sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 +
4*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) -
2)^2*Cx^2))*Cx))^2 + (2*(2*Ax - Cx)*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax +
sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Ax*Cx^2/(4*(2*Ax -
Cx)^2*Ax*Cx^2 - (2*Ax - Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax -
1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx + sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax
- Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) -
2)^2*Cx^2))*Cx) - (2*(Ax - Cx)*(2*Ax - Cx)*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax -
Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx^2 +
(2*Ax - Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax -
Cx)^2) - 2)*Cx - sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax +
sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) -
2)^2*Cx^2))*Cx^2)/(4*(Ax - Cx)*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 - (2*Ax -
Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2)
- 2)*Cx - sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^2))*Cx))^2)*(1/sqrt((Cx +
(2*(Ax - Cx)*(2*Ax - Cx)*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax +
sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx^2 + (2*Ax -
Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2)
- 2)*Cx - sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^2))*Cx^2)/(4*(Ax - Cx)*(2*Ax
- Cx)^2*Cx^2 - (2*Ax - Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax -
1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)*Cx - sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax
- Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) -
2)^2*Cx^2))*Cx))^2 + 4*(2*(2*Ax - Cx)^2*Cx^3 + (2*Ax - Cx)*(2*(Ax -
Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax -
Cx)^2) - 2)*Cx^2)^2/(4*(Ax - Cx)*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 - (2*Ax -
Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2)
- 2)*Cx - sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^2))*Cx)^2) + 1/sqrt(4*(2*Ax -
Cx)^2*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 +
4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Ax^2*Cx^4/(4*(2*Ax - Cx)^2*Ax*Cx^2 - (2*Ax -
Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2)
- 2)*Cx + sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^2))*Cx)^2 + 4*(2*Ax -
Cx)^2*(2*(Ax - Cx)*Ax - 2*(2*Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 +
4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^4/(4*(2*Ax - Cx)^2*Ax*Cx^2 - (2*Ax -
Cx)*(2*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax - Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2)
- 2)*Cx + sqrt(16*(2*Ax - Cx)^2*Cx^2 + 4*(2*(Ax - Cx)*Ax + sqrt(4*((Ax -
Cx)*Ax - 1)^2 + 4*(2*Ax - Cx)^2) - 2)^2*Cx^2))*Cx)^2))

De modo que "todo lo que tiene que hacer" es calcular las derivadas parciales de esta bestia, resolver para ellos es cero, al mismo tiempo, enumerar todos los puntos críticos, y comparar numéricamente. Buena suerte para encontrar las raíces de las derivadas parciales, aunque!

Answer 2

Ya puede escalar el triángulo sin cambiar la proporción, es conveniente poner D en el origen (0,0) y en (-1,0). Entonces el problema se parece a esto

Puedo asumir que $0<\alpha<\phi<\frac{\pi}{2}$.

A continuación, las líneas en la figura están dadas por las siguientes fórmulas simples

$AC:\quad x\sin\alpha-y\cos\alpha+\sin\alpha=0$,

$AB:\quad x\sin\alpha+y\cos\alpha+\sin\alpha=0$,

$BC:\quad x\sin\phi-y\cos\phi=0$,

$DN:\quad \displaystyle x\sin\frac{\phi+\pi}{2}-y\cos\frac{\phi+\pi}{2}=0$,

$DM:\quad \displaystyle x\sin\frac{\phi}{2}-y\cos\frac{\phi}{2}=0$.

Ahora es muy fácil encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas, lo que da:

$\displaystyle N=\left(\frac{\tan\alpha}{\tan(\phi+\pi)/2-\tan\alpha}, \frac{\tan\alpha\tan(\phi+\pi)/2}{\tan(\phi+\pi)/2-\tan\alpha}\right)$,

$M=\displaystyle\left(-\frac{\tan\alpha}{\tan\phi/2+\tan\alpha}, -\frac{\tan\alpha\tan\phi/2}{\tan\phi/2+\tan\alpha}\right)$,

$B=\displaystyle\left(-\frac{\tan\alpha}{\tan\phi+\tan\alpha}, -\frac{\tan\alpha\tan\phi}{\tan\phi+\tan\alpha}\right)$,

$C=\displaystyle\left(\frac{\tan\alpha}{\tan\phi-\tan\alpha}, \frac{\tan\alpha\tan\phi}{\tan\phi-\tan\alpha}\right)$,

Conectar estas en la costumbre, la distancia Euclídea fórmula da $MN$, $BM$ y $CN$. Después de la simplificación con mathematica, me sale el siguiente

$MN=\displaystyle\frac{2\sin\alpha\sqrt{1+\sin\phi\sin2\alpha}}{\sin\phi+\sin2\alpha}$,

$BM=\displaystyle\frac{\sin\alpha\sin\phi/2}{\sin(\phi+\alpha)\sin(\phi/2+\alpha)}$,

$CN=\displaystyle\frac{\sin\alpha\cos\phi/2}{\sin(\phi-\alpha)\cos(\phi/2-\alpha)}$.

A continuación, $R(\alpha,\phi)=\displaystyle\frac{MN}{BM}+\frac{MN}{CN}$ es una función de dos variables $\alpha,\phi$ y se parece a esto

Y aquí está otra parcela mostrando sólo los bits que sobresale por encima de 4

Es obvio a partir de estas parcelas que el máximo de $R(\alpha,\phi)$ se produce en la diagonal $\alpha=\phi$, donde

$$r(\alpha)=R(\alpha,\alpha)= 2\sqrt{2}\cos\alpha \sqrt{2 + \cos\alpha - \cos3\alpha}.$$

Se alcanza el máximo en $\alpha_m$ que satisface $-8 \sin\alpha_m - 2 \sin2\alpha_m + 5 \sin4\alpha_m=0$. Esta ecuación puede resolverse en mathematica analíticamente pero el resultado es bastante feo. Para valores numéricos, llego $\alpha_m=0.4371582260685195$$r(\alpha_m)=4.170978697039997$. Así, la correcta es la desigualdad

$$\frac{1}{BM}+\frac{1}{CN}\le\frac{r(\alpha_m)}{MN}$$

Answer 3

Nota:se considerar $\Delta ABC$ como triángulo en $\mathbb{R}^2$($O$ el origen es el punto medio de la $BC$)y los que lo rodean en la elipse con la propiedad de que sus dos focos se $B(-a,0),C(a,0)$ y pasa a $A(x_0,y_0)$.

canónica de la ecuación de la elipse es $\frac{x^2}{d^2}$+${y^2}\frac{1-\frac{x_0^2}{d^2}}{y_0^2}=1$,$d=\frac{1}{2}(\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}+\sqrt{(x_0+a)^2+y_0^2})$, a continuación, la línea normal a la recta tangente a la elipse en $A$ es bisectriz de $\angle BAC$(aquí) ahora nos encontramos con las Coordenadas de $D$,de igual forma nos encontramos con $M$$N$, ahora calcular $BM,CN,MN$