Cómo integrar$\int_0^1x^a(1-x)^bdx$

Question

Tengo una pregunta sobre una ecuación que intento integrar, la integral es:$$\int_0^1 x^a (1 - x)^b ~dx,$ $ donde$a, b > 0$.

Cualquier ayuda con este problema sería apreciada.

Answer 1

Google "función Beta". Lo que tienes es$$B(b+1,a+1)=B(a+1,b+1)=\int_0^1x^a(1-x)^bdx=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+2)}$ \, a \ ,, \, b \ in \ Bbb N \, $, entonces$For example, if $ $

Answer 2

La integral en la mano es conocido como Euler integral de la primera clase. Es un valor, como la función de $a$ $b$ es saber como función beta: $$ B(a+1,b+1) = \int_0^1 x^(1-x)^b \mathrm{d} x $$ Integrando por partes, se puede derivar ecuaciones en recurrencia: $$ (a+1) B(a+1, b+1) = b(a+2,b) $$ El cambio de las variables de $x \mapsto 1-x$ da $B(a,b) = B(b,a)$. La recurrencia de ecuaciones puede ser resuelto a dar la expresión de la función beta, en términos de la relación de Euler $\Gamma$-funciones: $$ B(a,b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} $$