Demostrando que $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=f''(x)$

Question

Prueba que$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=f''(x)$ $

¿Es la siguiente una prueba correcta:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Realmente me encantaría aportar información sobre esta prueba. El libro "Berkeley Problems in Mathematics" lo soluciona de manera diferente.

Answer 1

Sumando$$f(x+h) - f(x) = \ h f'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + o(h^3)$ $$$f(x-h) - f(x) = - h f'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + o(h^3)$ $ obtiene$$f(x+h) + f(x-h) -2f(x) = h^2 f''(x) + o(h^3)$ $ que es equivalente a$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + f(x-h) -2f(x)}{h^2} = f''(x)$ $

Sin embargo creo que esta es la prueba que su libro da, ya que esto es bastante estándar.

Answer 2

Su prueba es incorrecta. Puedes decir \begin{align} f''(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x)-f'(x-h)}{h}\\[10px] &= \lim_{h\to 0} \dfrac{ \lim\limits_{k\to0}\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} - \lim\limits_{k\to0}\dfrac{f(x-h+k)-f(x-h)}{k} } { h } \end {align} pero en este punto estás casi atascado. Podrías unificar los dos límites en el numerador y trabajar en él, pero al final todavía tienes un doble límite.

Answer 3

Simplemente use la regla de L'Hospital dos veces

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}\\=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}\\=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f''(x+h)+f''(x-h)}{2}\\=f''(x)$