¿Cuál es el valor de esto?

Question

Es bien sabido que $\beth_\omega^{\aleph_0} = \beth_{\omega+1}$. Esto se deduce ya que para que el fuerte límite de $\kappa$, $\kappa^\kappa = \kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}.$

Pregunta. En la medida en que ZFC puede precisar, ¿cuál es el valor de $\beth_{\omega_1}^{\aleph_0}$?

Claramente entre $\beth_{\omega_1}$ $\beth_{\omega_1+1}$ (de nuevo, con $\kappa^\kappa = \kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}$ para el límite superior), pero eso es todo lo que he podido averiguar.

De hecho, he estado pensando en esto por un tiempo. Al principio yo estaba pensando que tal vez desde $\aleph_0 < \mathrm{cf}(\beth_{\omega_1}),$ se puede deducir $\beth_{\omega_1}^{\aleph_0} = \beth_{\omega_1}.$ Que es, pensé que podría ser un principio general de que si $\nu < \mathrm{cf}(\kappa)$, $\kappa^\nu = \kappa.$ por lo tanto esta pregunta. Desafortunadamente, sin embargo, la conjetura es falsa (ver Asaf la respuesta en el enlace), y no puedo pensar en otra cosa para probar.

Answer 1

Esta es otra manera de ver que$\beth^\omega_{\omega_1}\leq \beth_{\omega_1}$.

Primero, notar que por una simple inducción podemos demostrar que para los ordinales innumerables$\alpha$,$\beth_\alpha = |V_\alpha|$. En particular $\beth_{\omega_1} = |V_{\omega_1}| $. Así que cada función de$\omega$ a$\beth_{\omega_1}$ se puede codificar como una función de$\omega$ a$V_{\omega_1}$. Dado que cualquier función de este tipo será un subconjunto de$V_{\omega_1}$ de tamaño$\omega$, tendrá que existir en algún$V_\alpha$ para$\alpha<\omega_1$. Así,$\beth^\omega_{\omega_1}\leq \beth_{\omega_1}$.

Answer 2

Yo creo que lo tengo.

Definición. Siempre que $\kappa$ es un número cardinal, escribir $\mathcal{B}(\kappa)$ para el boundful powerset de $\kappa$ es decir, el conjunto de todos los subconjuntos acotados de $\kappa$.

La proposición. Si $\kappa$ es un fuerte límite de cardenal, a continuación,$|\mathcal{B}(\kappa)| = \kappa$.

Tenemos que mostrar que $|\mathcal{B}(\kappa)| \leq \kappa.$ Ahora creo que es un principio general que $|\mathcal{B}(\kappa)| = 2^{<\kappa}.$, Pero de un fuerte límite de $\kappa$, $2^{<\kappa} = \kappa.$ por lo tanto el resultado de la siguiente manera.

Corolario. Si $ν<\mathrm{cf}(\kappa)$ $\kappa$ es un fuerte límite de cardenal, a continuación,$κ^ν=κ$.

De esta manera se sigue desde $κ^ν$ es la cardinalidad de a $[\kappa]^\nu$ (el conjunto de todos los subconjuntos de a $\kappa$ con cardinalidad, precisamente,$\nu$). Por hipótesis, cada elemento de la $[\kappa]^\nu$ es acotado, por lo tanto $[\kappa]^\nu \subseteq \mathcal{B}(\kappa).$

Corolario de eso. $$\beth_{\omega_1}^{\aleph_0} = \beth_{\omega_1}$$