Estoy tratando de entender la prueba de la Proposición 5.5.6 en Szamuely los Grupos de Galois y Fundamental de los Grupos. La proposición se refiere el núcleo del mapa $\phi_*: \pi_1 (S', \bar{s}')\to \pi_1(S,\bar{s})$ (inducida en étale fundamental grupos de personas conectadas por sistemas de una punta de morfismos $\phi: (S',\bar{s}')\to (S,\bar{s})$ donde $\bar{s}, \bar{s}'$ son puntos geométricos) para los revestimientos de los dos esquemas. Más específicamente, se establece:
Deje $U'\subseteq \pi_1 (S', \bar{s}')$ ser un subgrupo abierto, y deje $X'\to S'$ ser la cubierta correspondiente a la coset espacio de $U'\backslash \pi_1 (S', \bar{s}')$. El subgrupo $U'$ contiene $\ker(\phi_*)$ si y sólo si existe un número finito de étale cubierta $X\to S$ e una $S'$-morfismos $X_i \to X'$ donde $X_i$ está conectado a un componente de $X\times_S S'$.
Estoy confundido acerca de dos partes de la prueba, esencialmente, llegando hasta el mismo problema:
En primer lugar, por el "si", la dirección de la prueba. Tomamos un $X\to S$ como en la declaración, que corresponde a la coset espacio de un subgrupo $U$$\pi_1 (S,\bar{s})$. Szamuely, a continuación, escribe "por la elección de un adecuado geométrico de punto base, podemos identificar el componente $X_i \subseteq X\times_S S'$ con el coset espacio de $U''\backslash \pi_1 (S', \bar{s}')$ para algunos de los subgrupos $U''\subseteq \pi_1 (S', \bar{s}')$. Tenga en cuenta que $U''$ debe contener $\ker(\phi_*)$ por la construcción".
No entiendo por qué la $U''$ debe contener $\ker(\phi_*)$. Podría alguien extender en esto para mí?
En segundo lugar, en el "sólo si" la parte de la prueba, se utiliza un grupo de teoría de lema a obtener un abrir subgrupo $V\subseteq \pi_1 (S,\bar{s})$ cuya intersección con $\text{im}(\phi_*)$$\phi_* (U')$. Esta $V$ da un número finito de étale cubierta $X = V\backslash \pi_1 (S,\bar{s}) \to S$, y podemos elegir un componente conectado a $X_i \subseteq X\times_S S'$ conseguir otro abierto subgrupo $U''\subseteq \pi_1 (S', \bar{s}')$ que $X_i$ es el coset espacio de $X_i = U''\backslash \pi_1 (S', \bar{s}')$. Szamuely, a continuación, afirma que ambos grupos $U'$ $U''$ contienen $\ker(\phi_*)$ (aquí se $U'$ contenía el kernel por supuesto).
Pero una vez más, no entiendo por qué la $U''$ debe contener $\ker(\phi_*)$. ¿Cuál es la razón para esto? Creo que esto es algo que tengo que ver una vez o dos veces antes de conseguir la caída de su uso. Muchas gracias!
