Pregunta : Vamos a $a,b \in R$ donde $ a < b$. Probar que existe un número racional $c$ y un número irracional $d$ tal que $ a <c<b$$ a<d<b$. Sugerencia: considerar decimal expansiones de $a$ $b$
Intento: Teorema 2.7.5 dice que un número real es racional si y sólo si su expansión decimal que termina o tiene una infinitamente secuencia de repetición de dígitos.
Set $I$ es los números irracionales
$I =[x \in R: x \notin Q]$
Set $Q$ es los números racionales
$Q = [ \frac{a}{b}:a,b, \in Z$ $b \neq 0]$
Si el proceso de división termina, entonces hemos terminado. De lo contrario, ya que cada dígito del cociente
determina su sucesor, y ya hay en la mayoría de las $b-1$ posibles restos al dividir
por $b$ (por el algoritmo de la división), algunos dígitos de el resto debe mostrar de nuevo, obligando a una secuencia de
de dígitos a repetir para siempre. La longitud de la repetición del ciclo es en la mayoría de las $b-1$
Supongamos que la expansión decimal de r terminará. Por lo tanto, para$r=0$, $a_1,a_2,...a_k$ donde
cada una de las $a_i \in [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]$$a_k \neq 0$. Entonces
$ r = \frac{a_110^{k-1}+a_210^{k-2}+...+a_k}{10^k}$
satisface la definición de un número racional. Ahora, supongamos que la expansión decimal de r tiene un
infinitamente secuencia de repetición de dígitos que comienza inmediatamente después del punto decimal: $r=0.b_1b_2...b_k$
La secuencia de dígitos que se repiten siempre. Por lo tanto,
$10^kr=b_1b_2...b_k.b_1b_2...b_kb_1b_2...b_k$
así,
$$10^kr-r=b_1b_2...b_k$
dando
$r = \frac{b_1b_2...b_k}{10^k-1} \in Q$
Supongamos $r$ tiene una primera secuencia de dígitos antes de la secuencia de repetición: $r = 0.a_1a_2...a_lb_1b_2...b_k$. Luego la dejamos $r' = 0.b_1b_2...b_k$. Por el caso anterior $r' \in Q$. Es
fácil de verificar que
$r=\frac{r'+a_1a_2...a_l}{10^l}$
Como resultado, $ r \in Q$
Así que mi pregunta es ¿puedo solicitar la expansión decimal a$c$$d$. Suponiendo que puedo, entonces el decimal
la expansión de $c$ va a terminar, ya que es racional por el teorema de 2.7.5.
Entonces, para $r=0.c_1c_2...c_k$ donde cada una de las $ c_i \in [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]$$c_k \neq 0$. Entonces
$ r = \frac{c_110^{k-1}+c_210^{k-2}+...+c_k}{10^k}$
Supongamos $d$ es un irriational número, entonces la expansión decimal no terminar.
$10^kr=d_1d_2...d_k.d_1d_2...d_kd_1d_2...d_k$
así,
$10^kr-r=d_1d_2...d_k$
dando
$r = \frac{d_1d_2...d_k}{10^k-1} \in Q$.
Si dejamos $r = 0.c_1,c_2...c_ld_1d_2...d_k$$r' =0.d_1d_2...d_k$, $r' \in Q$ $r=\frac{r'+c_1c_2...c_l}{10^l}$
Yo podría haber jurado que esto va a funcionar para $c$ solamente, pero no por $d$ porque, como mencioné antes, $c$'s decimal de expansión se detendrá y $d$ va a ir para siempre.
