¿El núcleo de cualquier homomorfismo del anillo es un subanillo, según esta definición?

Question

Este es un ejercicio tomadas literalmente de Birkhoff y MacLane, Una Encuesta de la Moderna Álgebra:

Mostrar que si $\phi: R \rightarrow R'$ es cualquier homomorphism de anillos, entonces el conjunto $K$ de los elementos en $R$ que se asignan en $0 \in R'$ es un sub-anillo.

Permítanme recordar de esta sección del texto de la definición de un sub-anillo:

... definir un sub-anillo de un anillo conmutativo $A$ como un subconjunto de a $A$ que contiene, con cualquiera de los dos elementos de la $f$$g$, también se $f \pm g$$fg$, y que también contiene la unidad de $A$.

A mí me parece que la implicación en el ejercicio es falso en general. Estoy de acuerdo en que $a,b \in K$ implica $a \pm b, ab \in K$, pero parece $1 \notin K$ en general. Por ejemplo, tome $\phi$ a ser el mapa de identidad de $\mathbb{Z}$ a sí mismo, a continuación, $K = \{0\}$ y, por tanto, $K$ no contiene el elemento unidad. Pero la definición de sub-anillo dado aquí requiere que contienen el elemento unidad.

Me pregunto si me estoy perdiendo algo aquí, y en el caso de que estoy en lo correcto de que la implicación no es, existe alguna variación de la afirmación que es verdadera?

Answer 1

Esta es una comunidad wiki respuesta prevista eliminar esta pregunta de la cola sin respuesta.

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Como Daniel Fischer señaló en los comentarios, razonamiento de OP es correcta, y esto era probablemente sólo un momentáneo lapso en coherencia con las definiciones.

Answer 2

De un anillo a un subanillo no necesita tener el elemento de unidad. Sólo tiene que tener el cero elemento y cierre bajo la adición y la multiplicación de un inverso aditivo, lo que significa un + (algún elemento de) = (cero elemento). Si k = {0} tiene el elemento cero de los enteros, que es cerrado bajo adición y multiplicación y 0 + (-0) = 0.