En la que ordenó a los campos de no convergencia absoluta implica la convergencia?

Question

En el proceso de tocar algunas notas sobre la serie infinita, me encontré con la siguiente "resultado":

Teorema: Para una ordenada campo $(F,<)$, los siguientes son equivalentes:
(i) Cada secuencia de Cauchy en $F$ es convergente.
(ii) Absolutamente convergente la serie converge: $\sum_n |a_n|$ converge en $F$ $\implies$ $\sum_n a_n$ converge en $F$.

Pero en la actualidad sólo la prueba de (i) $\implies$ (ii) se incluye, y lamentablemente ya no puedo recordar lo que tenía en mente para la inversa de la dirección. Después de pensarlo un poco, me pregunto si me estaba confundiendo con este resultado:

Proposición: En una normativa abelian grupo $(A,+,|\cdot|)$, los siguientes son equivalentes:
(i) Cada secuencia de Cauchy es convergente.
(ii) Absolutamente convergente la serie converge: $\sum_n |a_n|$ converge en $\mathbb{R}$ $\implies$ $\sum_n a_n$ converge en $A$.

Por ejemplo, uno puede usar una telescópica suma argumento, como se hace en el caso de la normativa espacios lineales sobre $\mathbb{R}$ en (VIII) de esta nota.

Pero el resultado deseado no es un caso especial de este, ya que por definición la norma en una normativa abelian grupo toma valores en $\mathbb{R}^{\geq 0}$, mientras que el valor absoluto de un orden de campo $F$ toma valores en $F^{\geq 0}$.

Puedo mostrar (ii) $\implies$ (i) del Teorema para ordenó a los subcampos de $\mathbb{R}$. Es decir, cada número real $\alpha$ admite un binario con signo de expansión $\alpha = \sum_{n = N_0}^{\infty} \frac{\epsilon_n}{2^n}$ ,$N_0 \in \mathbb{Z}$$\epsilon_n \in \{ \pm 1\}$, y el correspondiente "absoluta de la serie" es $\sum_{n=N_0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 2^{1-N_0}$.

Debido a un pedido de campo es isomorfo a un ordenado subcampo de $\mathbb{R}$ fib es de Arquímedes, este hecho demuestra (ii) $\implies$ (i) para Arquímedes ordenó campos. Pero, por un lado yo preferiría una prueba de esto que no se utiliza (no trivial) resultado de la sentencia anterior, y por otro lado...¿no Arquímedes ordenó campos?

Añadido: en El artículo se basa en esta pregunta y la respuesta ha aparecido:

Clark, Pete L.; Diepeveen, Niels J.; Convergencia absoluta en Ordenadas los Campos. Amer. De matemáticas. Mensual 121 (2014), no. 10, 909-916.

Si usted es un miembro de la MAA, usted será frustrado si intenta acceder a ella directamente: el problema es que actualmente publica en su página web, pero los artículos no están realmente disponibles para los miembros. El artículo está disponible en JSTOR y a través de MathSciNet. De todos modos, aquí es isomorfo copia. Gracias de nuevo a Niels Diepeveen!

Answer 1

Lo que demuestra esta arbitrarias ordenadas campos es un poco más complicado que el de Arquímedes campos, en parte porque no hay secuencias concretas -- otros que eventualmente constante, que garantiza la convergencia o incluso secuencias de Cauchy y, en parte, debido a la carencia de la integración en un ordenado completamente campo.

Estos problemas pueden ser superados mediante la construcción de todos los es necesario secuencias y series desde el uno de Cauchy secuencia podemos asumir que existe. Para empezar, tenga en cuenta dos hechos importantes. En primer lugar, para una secuencia de Cauchy convergen, es suficiente que algunos subsequence converge. Segundo, cualquier secuencia tiene una estrictamente creciente larga, estrictamente decreciente larga o un constante larga. Para este problema, el último el caso es trivial y los dos primeros pueden ser reducidos a cada otros por la negación, por lo que tenemos que demostrar que sólo uno de ellos.

Deje $K$ ser ordenada campo en el que cada absolutamente convergente la serie es convergente. Si $\{a_n\}$ es estrictamente una aumento de la secuencia de Cauchy en $K$, $\{a_n\}$ converge.

Prueba:

Deje $b_n = a_{n+1} - a_n$. A continuación, ${b_n}$ es positivo y converge a $0$, por lo que tiene un sentido estrictamente decreciente subsequence $\{b_{n_k}\}$. Deje $c_k = b_{n_k} - b_{n_{k+1}}$. Ahora tenemos un convergentes series con términos positivos $\sum_{k=1}^\infty c_k = b_{n_1}$. Como $\{a_n\}$ es una secuencia de Cauchy, tiene una larga $\{a_{m_k}\}$ tal que $a_{m_{k+1}} - a_{m_k} < c_k$ todos los $k$.

Ahora, considere la serie de $\sum_{i=1}^\infty d_i$ donde $d_{2k-1} = a_{m_{k+1}} - a_{m_k}$ y $d_{2k} = a_{m_{k+1}} - a_{m_k} - c_k$. Tenga en cuenta que $-c_k < d_{2k} < 0 < d_{2k-1} < c_k$, por lo que podemos pareja términos $$ \sum_{i=1}^\infty |d_i| = \sum_{k=1}^\infty (d_{2k-1} - d_{2k}) = \sum_{k=1}^\infty c_k = b_{n_1} $$ Por la hipótesis de $K$ se puede concluir que la $\sum_{i=1}^\infty d_i$ converge y $$ \sum_{i=1}^\infty d_i + \sum_{k=1}^\infty c_k = \sum_{k=1}^\infty (d_{2k-1} + d_{2k} + c_k) = 2 \sum_{k=1}^\infty (a_{m_{k+1}} - a_{m_k}). $$ Debido a una secuencia de Cauchy con convergente larga converge, tenemos $$ \lim_{n \to \infty} a_n = a_{m_1} + \sum_{k=1}^\infty (a_{m_{k+1}} - a_{m_k}) = a_{m_1} + \frac{1}{2}\left(b_{n_1} + \sum_{i=1}^\infty d_i \right) $$

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A la pregunta "¿cómo he llegado a esto?": hay no muchas cosas que podría funcionar. El problema es situado en un entorno donde ninguna de las herramientas de poder de trabajo de análisis. Básicas de la aritmética obras, las desigualdades de trabajo, algunas propiedades elementales de secuencias y series de trabajo, pero si usted quiere tomar un límite de algo que iba a ser mejor convergente por la hipótesis o de la construcción.

Uno más o menos obvio es el ataque por contraposición: asumir que es una divergente secuencia de Cauchy y tratar de construir una divergente, absolutamente convergente la serie. Este tipo de series debe ser descomponible en una parte positiva $a$ y un negativo parte $b$ donde $a+b$ bifurca y $a-b$ converge. Este es posible de varias maneras por tomar $a$ $b$ a ser lineal combinaciones de conocidos convergentes y divergentes de la serie.

Una complicación es que los términos de la serie convergente debe dominar a aquellos de la divergencia de la serie, ya que se deben el control de los signos. He perdido un montón de tiempo tratando de conseguir la convergente la serie para hacer esto, que es muy difícil, tal vez imposible. Luego me volví a la prueba de espacios vectoriales en busca de inspiración, y vi que era de hecho muy fácil ajustar la divergencia de la serie en su lugar, como las sumas parciales son una secuencia de Cauchy. Yo también adoptó el estructura general de la prueba, que es la razón por la final la versión no es por contraposición.