Dado $f$ toda la función en $ \mathbb C$ y $f$ uno a uno. ¿Es cierto que $f$ es lineal?
¡Al menos entre los polinomios las únicas funciones de este tipo son lineales!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El enlace dado por @Patience lleva a una prueba, pero se pueden evitar las cosas más pesadas como Picard, Casorati-Weierstrass y la propia noción de singularidad esencial. El teorema de Liouville es suficiente.
Elige un punto $a$ tal que $f\,'(a)\ne 0$ . (Ni siquiera quiero argumentar que $f\,'$ nunca desaparece). Normalizar para que $a=0$ , $f(0)=0$ y $f\,'(0)=1$ . Desde $f$ es un mapa abierto, existe $r>0$ tal que $\{w:|w|<r\}\subset f(\{z:|z|<1\})$ . La función $$g(z)=\frac{f(z)-z}{zf(z)}$$ tiene una singularidad extraíble en $0$ . Cuando $|z|\ge1$ tenemos $$|g(z)| = \left|\frac{1}{z}-\frac{1}{f(z)}\right|\le \frac{1}{|z|}+\frac{1}{|f(z)|}\le 1+\frac{1}{r}.$$ Así, $g$ es una función entera acotada. Por el teorema de Liouville $g$ es constante, y se deduce que $f$ es lineal.
