Supongamos que lanzas una moneda (justa) 9 veces, y obtienes cara en todas ellas. ¿No aumentaría la probabilidad de obtener cruz a partir de 50/50 debido a la regresión hacia la media?
Sé que eso no debería ocurrir, ya que los lanzamientos son eventos independientes. Sin embargo, parece ir en contra de la idea de "las cosas se igualan".
[TL;DR:] La distinción clave que hay que hacer, creo, es entre el del próximo evento probabilidad teórica v/s el acumulativo probabilidad empírica .
En Falacia del jugador de suponer que la probabilidad de que el décimo lanzamiento no sea exactamente 50/50 es errónea (suponiendo que la moneda sea justa).
Sin embargo, como la probabilidad debe ser 50/50, lo más probable es que obtenga 45 caras y 45 colas en los próximos 90 lanzamientos. Por tanto, si la proporción de caras fue del 90% en los 10 primeros lanzamientos, será del ~54% en 100 lanzamientos (incluidos los diez anteriores) - regresión (acercándose) a la media (aquí, 50%).
[Actualización:] No lo había notado antes, pero @AndreNicholas llegó antes que yo en los comentarios .
Esto es interesante porque demuestra lo tramposa que puede ser la mente. Llegué a esta página web después de leer el libro de Kahneman, "Pensar, rápido y despacio". No veo contradicción entre la falacia del jugador y la regresión hacia la media. Según el principio de regresión, la mejor predicción de la siguiente medida de una variable aleatoria es la media. Esto es precisamente lo que se supone al considerar que cada lanzamiento es un suceso independiente; es decir, la media (0,5 de probabilidad) es la mejor predicción. Esto se aplica a la probabilidad teórica del siguiente suceso y no hay necesidad de un siguiente montón de lanzamientos. La razón por la que nos inclinamos a pensar que tras una "larga" serie de resultados repetidos la mejor predicción es otra que el valor medio de una variable aleatoria tiene que ver con la heurística. Según la primera ley estadística de Abelson, "el azar es desigual". Cito a Abelson: "En general, la gente no se da cuenta de que las rachas largas ocasionales de uno u otro resultado son una característica natural de las secuencias aleatorias". Algunos estudios han demostrado que las personas son malas generadoras de números aleatorios. Cuando se les pide que escriban una serie de resultados aleatorios, los sujetos tienden a evitar las series largas de uno u otro resultado. Escriben secuencias que alternan rápidamente entre resultados. Esto es así porque esperamos que los resultados aleatorios sean "representativos" del proceso que los genera (un problema relacionado con la heurística). Por lo tanto, suponer que la mejor predicción para un lanzamiento de décimos en su ejemplo debe ser distinta de 0,5, es una consecuencia de lo que inconscientemente ("pensamiento rápido") queremos que esté representado en nuestra muestra. Los jugadores tontos son malos muestreadores. Alfredo Hernández
La falacia del jugador es la creencia errónea de que, tras una secuencia de acontecimientos aleatorios de un tipo, es más probable que el siguiente acontecimiento sea de un tipo opuesto o diferente. En el caso de un lanzamiento de moneda de equilibrio, las probabilidades de que se produzca el siguiente suceso son las mismas que las del anterior, es decir, de igual probabilidad. Esto no es incompatible con nuestra sensación de que las cosas tienden a igualarse con el paso del tiempo, siempre y cuando tengamos en cuenta que el tiempo no se define como un acontecimiento único, sino como una secuencia.
El lanzamiento de una moneda implica un azar cuyo resultado no puede determinarse, sino que sólo puede describirse probabilísticamente como 50/50 por suceso y como algo que tiende a una media de 50/50 en una secuencia indefinida de sucesos de este tipo.
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Supongamos que tuviéramos $9$ cabezas en fila. Es muy probable que la próxima $91$ lanzamientos será mucho más equilibrado, por lo que el proporción de cabezas en el combinado $100$ es probable que se acerque bastante más a la paridad. Pero eso es porque el $91$ es probable que los lanzamientos se repartan a partes iguales, no por un efecto de recuperación. Es bastante probable (aproximadamente $50$ por ciento) que los jefes dirigirán por más que $9$ . Pero el porcentaje el plomo se habrá reducido con toda seguridad. Siga pensando así: las monedas no tienen memoria.
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Se está abusando de la regresión a la media. La única regresión es que es probable que la moneda no dé resultados tan extraños en el siguiente montón de lanzamientos. Es probable que dé porcentajes más o menos parejos en los siguiente montón de lanzamientos.
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"La única regresión es que es probable que la moneda no dé resultados tan raros en los próximos lanzamientos"... Ah. ¡Lo he pillado!
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Si saliera cara en los nueve primeros lanzamientos, empezaría a sospechar que no es una moneda justa, y diría que en el décimo lanzamiento es más probable que salga cara que cruz.
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@GerryMyerson: Interesante. Así funciona el razonamiento bayesiano, ¿no?
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Sí, si se tiene una estimación previa de, por ejemplo, la probabilidad de que salga cara, Bayes indica cómo actualizar esa estimación a la luz de la experiencia con la moneda.
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Vale la pena señalar que 9 cabezas seguidas no es altamente improbable $\frac{1}{512}$ . En las mesas de dos en raya del casino de Sydney es probable que esto haya ocurrido hoy.
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@YatharthROCK: He vuelto a la versión anterior, ya que me pareció que su edición era demasiado subjetiva, y no realmente útil. En mi opinión, no has respetado al autor original. Por favor, házmelo saber si crees que estoy equivocado. Saludos
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@NilsMatthes No hay problema, aunque si pudieras acortar la descripción tú mismo estaría bien. Sólo una pregunta de alguien relativamente nuevo en SE: ¿es preferible que los mensajes sean directos y directos para el beneficio de los demás en lugar de como se escribieron originalmente para reflejar el OP?
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Estimado @YatharthROCK: se trata de una línea algo fina. En un extremo están los usuarios que escriben sus preguntas como si fueran un ejercicio sacado directamente de un libro de texto. El otro extremo son los usuarios que serpentean en su pregunta. Ambos extremos están desaconsejados; por un lado, se espera que muestres algo de esfuerzo, pero por otro debes dejar clara la pregunta. Dicho esto, en mi opinión la OP estaba bien; la reflexión era indicativa de esfuerzo, mientras que la pregunta tenía una longitud razonable.
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Estoy marcando esta pregunta como duplicada porque la pregunta más reciente (¡!) ha atraído más atención y (en consecuencia) mejores respuestas, a pesar de que esta pregunta es bastante más antigua. (Mala suerte, ¡lo siento!)
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Posible duplicado de Si se observa que el lanzamiento de una moneda sale cara muchas veces, ¿afecta eso a la probabilidad del siguiente lanzamiento?
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(En otras palabras, para poner números extendidos al pensamiento de Andre... si obtuvieras cara 10 veces seguidas... la expectativa [ligeramente] más probable es que si voltearas 100 veces más, terminarías con 60/110 caras en total... con 59/110 y 61/110 sólo ligeramente menos probables, y así sucesivamente, disminuyendo hasta las muy improbables 10/110 y 110/110 caras. 55/110 es tan probable como 65/110. Por lo tanto, lo más probable es que se mantengan los resultados anómalos del pasado... pero en porcentaje es cada vez menor [55/110 = 60% de cabezas, mientras que 10/10=100%... si continuamos, 510/1010 cabezas = 50,5%, etc., hasta que finalmente haya ruido].
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Pero también hay que tener en cuenta que las rachas son algo que se debe ESPERAR ver en datos verdaderamente aleatorios. Las probabilidades de lanzar una moneda 10 veces y obtener exactamente HTHTHTHTHTHTHT (o THTHTHTHTHTHTHTH) alternadas son de un minúsculo 1/256 ( $_9C_{10} \cdot\, \frac{1}{2^9}$ ). Deberías esperar una racha de 8 seguidos más o menos dentro de un conjunto de 100 tiradas (el cálculo exacto de qué racha es la más esperable es bastante factible, sólo que se me escapa en este momento) [algo así como la Paradoja del Cumpleaños]. Es fácil que la gente quiera interpretar el hecho de encontrar una racha como ver un patrón, pero lo que se espera es que haya alguna racha.