¿Existe cualquier % polinomio distinto de cero $f:\mathbb C \to \mathbb C$tal que $f(x+2)-2f(x+1)=f(x) , \forall x \in \mathbb C$?

Question

Existe cualquier % polinomio distinto de cero $f:\mathbb C \to \mathbb C$tal que % $ $$f(x+2)-2f(x+1)=f(x) , \forall x \in \mathbb C?$

Más allá de este ejemplo concreto, ¿qué métodos generales para decidir si tal repetición puede ser satisfecha por un polinomio?

Answer 1

Ningún polinomio puede satisfacer una recurrencia lineal excepto en casos triviales porque la solución de los lineales es una combinación de las progresiones geométricas.

Por ejemplo, $f(n+2)-2f(n+1)=f(n)$ % todo $n \in \mathbb N$implica que $$f(n) = c_1 (1-\sqrt2)^n+c_2 (1+\sqrt2)^n$$ where $ c_1, c_2$ are parameters determined by $f(0)$ and $f(1)$.

De hecho, $f(n) \sim c_2 (1+\sqrt2)^n$ $n \to \infty$, pero un polinomio crece como $\sim a n^d$.

Answer 2

La ecuación dice

$\Delta^2 f(x) = 2f(x)$

donde $\Delta=\Delta_{+1}$ es el de las diferencias finitas operador $\Delta f = f(x+1) - f(x)$.

Por lo tanto $\Delta^k$ no matar a $f$ no importa cuán grande $k$ es, por lo $f$ no puede ser un polinomio.

Caso General. Un lineal de la recursividad en $f(x)$ es consistente con lo que se un polinomio si y sólo si es igual al resultado de tomar alguna relación lineal satisfecho por la $0$ función, y la aplicación de una secuencia finita de la diferencia de los operadores de $\Delta_a \circ \Delta_b \circ ...$ a que. Esto no asumir los cambios de $a,b,...$ son enteros.

Answer 3

$f(x+2) = f(x) + 2f(x+1)$

Supongamos que $f(x)$ es un polinomio de grado $n \ge 1$.

Utilizaremos la notación $g_m(x)$ para representar a un polinomio de grado más $n-1$ (que tiene coeficientes realmente no nos importa).

Entonces, para un $a \ne 0$,

\begin{align} f(x) &= ax^n + g_0(x) \\ f(x+1) &= ax^n + g_1(x) \\ f(x+2) &= ax^n + g_2(x) \\ \hline f(x+2) = f(x) + 2f(x+1) &\implies \\ ax^n + g_2(x) &= 3ax^n + g_4(x)\\ a &= 0 \end {Alinee el}

Por lo que no hay tal polinomio.

Answer 4

La generalización de

Teorema. Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ $V$ $K$- espacio vectorial de las funciones de$\mathbb{Z}_{\geq 0}=\{0,1,2,\ldots\}$$K$. El $K$-lineal operador $T:V\to V$ está definido por $$(T\varphi)(k):=\varphi(k+1)$$ for all $\varphi\in V$. Then, for each nonzero polynomial $P(X)\en K[X]$ of degree $p$ such that $P(0)\neq 0$, the kernel of the $K$-linear map $P(T):V\a V$, where $$P(T):=\varpi_p\,T^p+\varpi_{p-1}\,T^{p-1}+\ldots+\varpi_1\,T+\varpi_0\,I$$ si $P(X)=\sum\limits_{\rho=0}^p\,\varpi_\rho\,X^\rho$ $I$ indica el mapa de identidad en $V$, es de dimensión $p$ $K$ y que se extendió por las funciones de la forma $k\mapsto k^\mu\,\lambda^k$ todos los $k=0,1,2,\ldots$ donde $\lambda$ es una raíz de $P(X)$ $\mu$ es un entero no negativo menor que la multiplicidad de $\lambda$ como una raíz de $P(X)$.

Para demostrar el teorema, en primer lugar tenga en cuenta que, para todos los $\lambda\in K$, $T-I$ y $T-\lambda \,I$ son similares transformaciones lineales. Definir para cada una de las $\xi\in K\setminus\{0\}$ la transformación lineal $M_\xi:V\to V$ través $\left(M_\xi\varphi\right)(k):=\xi^k\,\varphi(k)$ todos los $k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$. Vemos, entonces, que $$T-\lambda \,I= M_{\lambda}\circ (T-I)\circ M_{\lambda^{-1}}\,.$$

El resto es el estándar de rutina. En primer lugar, factorizar $$P(X)=\varrho\,\prod_{i=1}^r\,\left(X-\lambda_i\right)^{m_i}\,,$$ donde $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r\in K$ son parejas distintas, $\varrho\in K$$\varrho\neq 0$, e $m_i$ es la multiplicidad de $X-\lambda_i$$P(X)$$i=1,2,\ldots,r$. De ello se sigue (con algunos detalles que hay que rellenar, que se basa en el hecho de que, para cada $j=1,2,\ldots,r$, $\left(X-\lambda_j\right)^{m_j}$ y $\prod\limits_{i\in\{1,2,\ldots,r\}\setminus\{j\}}\,\left(X-\lambda_i\right)^{m_i}$ son relativamente primos polinomios) que $$\ker\big(P(T)\big)=\bigoplus_{i=1}^r\,\ker\big(\left(T-\lambda_i\,I\right)^{m_i}\big)\,.$$

Es fácil ver que $\ker\big(\left(T-\lambda\,I\right)^m\big)=M_\lambda\Big(\ker\big((T-I)^m\big)\Big)$ por cada valor distinto de cero $\lambda\in K$$m\in\mathbb{Z}_{\geq0}$. El teorema es ahora evidente, como $\ker\big((T-I)^m\big)$ es, precisamente, el espacio de $K$valores de funciones polinómicas en $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ de grado menor que $m$.

Corolario. Con la misma configuración que en el teorema anterior, para cada entero positivo $s$, el núcleo de $T^s\,P(T)$ es suma directa de que el núcleo de $P(T)$ y el núcleo de $T^s$, $s$- dimensional sobre $K$ y se extendió por las funciones de la forma $k\mapsto \delta_{k,j}$ todos los $k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, y para cada una de las $j=0,1,2,\ldots,s-1$. Aquí, $\delta$ es el Kronecke delta. Por lo tanto, $\ker\big(T^s\,P(T)\big)$ $(p+s)$- dimensional $K$-subespacio vectorial de $V$.

Observación. Si el campo $K$ en el teorema y corolario anterior no supone que sea algebraicamente cerrado, entonces es verdad que el kernel de $P(T)$ $p$- dimensional $K$-subespacio vectorial de $V$, para cada polinomio distinto de cero $P(X)\in K[X]$ grado $p$.

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Guardamos la configuración del teorema anterior. Si $K$ no se supone que para ser algebraicamente cerrado y ahora se le permite tener una característica positiva $\kappa$, entonces podemos reemplazar $V$ $K$- espacio vectorial de las funciones de $\mathbb{F}_\kappa\to K$ donde $\mathbb{F}_\kappa$ es el primer subcampo de $K$. Si $P(X)$ es un valor distinto de cero el polinomio de grado $p<\kappa$ tal que $P(0)\neq 0$, luego deje $m$ ser la multiplicidad de $X-1$ como un factor de $P(X)$. El desplazamiento de izquierda mapa de $T:V\to V$ se define de la misma manera. De ello se deduce que el núcleo de $P(T):V\to V$ $m$- dimensional $K$-subespacio vectorial de $V$ y se compone de los mapas de la forma $k\mapsto f(k)$ donde $f(X)\in K[X]$ es un polinomio de grado menor que $m$. (Si $P(0)=0$, podemos escribir $P(X)=X^s\,\tilde{P}(X)$ para algunos distinto de cero $\tilde{P}(X)\in K[X]$ $\tilde{P}(0)\neq 0$ y llegarán a la misma conclusión mediante el estudio de $\tilde{P}(T)$ en lugar de $P(T)$.)

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La proposición. Deje $K$ ser un campo de característica $0$. Deje $f\in K[X]$ ser tal que, para algún número entero no negativo $n$, $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n\in K$ con $a_n\neq 0$, e $g(X)\in K[X]$ es de grado menor o igual a $d\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, tenemos $$\sum_{i=0}^n\,a_i\,f(k+i)=g(k)\tag{*}$$ para cada entero no negativo $k$. A continuación, el grado de $f(X)$ es en la mayoría de las $d+m$ donde $m$ es la multiplicidad de $1$ como una raíz del polinomio $\sum\limits_{i=0}^n\,a_i\,X^i$. Al $g(X)$ es distinto de cero y, precisamente, de grado $d$, este límite en el grado de $f(X)$ es fuerte, y no existe un único polinomio $\tilde{f}(X)\in K[X]$ de la forma $\tilde{f}(X)=\sum\limits_{i=m}^{m+d}\,c_i\,X^i$ $c_m,c_{m+1},c_{m+2},\ldots,c_{m+d}\in K$ tal que $f(X)=\tilde{f}(X)$ es una solución de (*), y otras soluciones están dadas por $f(X)=\tilde{f}(X)+q(X)$ donde $q(X)\in K[X]$ es un polinomio arbitrario de grado en la mayoría de las $m-1$.

Prueba. Vamos a asumir que $a_0\neq 0$. De lo contrario, deje $\nu$ es el elemento más pequeño de $\{0,1,2,\ldots,n\}$ tal que $a_\nu\neq 0$. A continuación, la igualdad de $\sum\limits_{i=\nu}^n\,a_i\,f(k+i)=g(k)$ tiene para todos los $k=0,1,2,\ldots$, lo que significa que da lugar a una ecuación polinómica $\sum\limits_{i=\nu}^n\,a_i\,f(X+i)=g(X)$. Ergo, también tenemos $$\sum\limits_{i=0}^{n-\nu}\,a_{i+\nu}\,f(k+i)=g(k-\nu)$$ for all $k=0,1,2,\ldots$.

Deje $b_0,b_1,b_2,\ldots,b_{n+d+1}\in K$ ser tal que $$h(X):=\sum_{i=0}^{n+d}\,b_i\,X^i=(X-1)^{d+1}\,\sum_{i=0}^n\,a_i\,X^i\,.$$ Por lo tanto, $f$ satisface $$\sum_{i=0}^{n+d+1}\,b_i\,f(k+i)=0$$ para todos los $k=0,1,2,\ldots$.

Deje $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r$, e $1$ ser distintas raíces de $h$ en la clausura algebraica $\bar{K}$ $K$ con multiplicidades $m_1,m_2,\ldots,m_r$, e $m+d+1$, respectivamente. Debido a que el teorema anterior, existen polinomios $\phi_1(X),\phi_2(X),\ldots,\phi_r(X)$, e $\phi(X)$ $\bar{K}[X]$ de grados menos de $m_1,m_2,\ldots,m_r$, e $m+d+1$, respectivamente, tales que $$f(k)=\sum_{j=1}^r\,\phi_j(k)\,\lambda_j^k+\phi(k)$$ para todos los $k=0,1,2,\ldots$. Es decir, $$\sum_{j=1}^r\,\phi_j(k)\,\lambda_j^k+\big(\phi(k)-f(k)\big)=0\,.$$ Por el teorema anterior, $\phi_1(X),\phi_2(X),\ldots,\phi_r(X)$, e $\phi(X)-f(X)$ son todos el polinomio cero. Es decir, $f(X)=\phi(X)$ es de grado en la mayoría de las $m+d$.

La parte restante de la proposición no es difícil de demostrar (aunque tedioso). Sólo implica resolver (no degenerada) sistemas de ecuaciones lineales.

Corolario. Con la misma configuración que la de la proposición anterior, supongamos que el $g(X)$ es el polinomio cero. Si $1$ no es una raíz de $\sum\limits_{i=0}^n\,a_i\,X^i$, $f(X)$ es el polinomio cero. Si $1$ es una raíz de $\sum\limits_{i=0}^n\,a_i\,X^i$ con multiplicidad $m$, $f(X)$ puede ser cualquier polinomio de grado en la mayoría de las $m-1$.

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Para responder a la OP de la pregunta, utilizamos la proposición con $K=\bar{K}=\mathbb{C}$. Entonces, tenemos $g(X)=0$ $n=2$ con $a_0=-1$, $a_1=-2$, y $a_2=1$. La multiplicidad de $X-1$$a_2\,X^2+a_1\,X+a_0$$0$. El grado de $g(X)$ es menor o igual a $d:=0$ (técnicamente, es $-\infty$). Por lo tanto, $f(X)$ debe ser constante. De ello se deduce inmediatamente que $f(X)$ es el polinomio cero. También es una consecuencia trivial de la recién insertado corolario de la proposición.

Answer 5

(1). Si $ f(x)=\sum_{j=0}^mA_jx^j $, con una constante(s) $ A_0,..., A_m $ tal que $ A_m\ne 0, $ $ x\ne 0 $ tenemos $ f(x)=A_mx^m(1+g(x)) $ donde $ \lim_{|x|\to \infty}g(x)=0. $

(2). Por binomial la expansión de cada término en las expresiones para $ f(x+2) $ $ f(x+1) $ tenemos $ f(x+2)-f(x+1)=\sum_{j=0}^mB_jx^j $, con una constante(s) $ B_0,...,B_m $ tal que $ B_m=-A_m. $ $ x\ne 0 $ tenemos $ f(x+2)-2f(x+1)=-A_mx^m(1+h(x)) $ donde $ \lim_{|x|\to \infty} h(x)=0. $

(3). Así que para todos lo suficientemente grande $ n\in N, $ ambos lados de la ecuación de recurrencia no son cero y la LHS, dividido por el lado derecho es $ -(1+h(n))/(1+g(n)) $, lo que tiende a $ -1 $ $ n\to \infty. $ .... En el párrafo siguiente se muestra otro método.

(4). También podemos observar a partir de la primera frase de (2) $ e(x)=f(x+2)-2f(x+1)-f(x) $ es un polinomio de grado $ m $ con los principales co-eficiente de $ -2A_m\ne 0, $, por lo que la ecuación de $ e(x)=0 $ tiene más de $ m $ soluciones.