Lagrange: Demuestre que hay dos puntos donde $f'$ es igual a cero

Question

Dejemos que $f: \mathbb R \to \Bbb R$ una función diferenciable. Sea $T>0 \in R$ tal que $f(x+T)=f(x) \forall x \in \Bbb R$

Demuestre que el intervalo $[0,T)$ tiene dos puntos donde la función $f'$ obtener es igual a $0$ (significa que $f'(x) = 0$

Lo que he hecho : Si sustituyo $0$ Me sale $f(T) = f(0)$ y por el Teorema de Rolle - Si una función de valor real f es continua en un intervalo cerrado adecuado $[a, b]$ , diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$ entonces existe al menos una $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que $f'(c)=0$ .

Ahora estoy tratando de encontrar el segundo punto he utilizado el Teorema de Lagrange(Teorema del valor medio - https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem )

Me sale $f'(c) =$ $f(T) - f(0) \over T-0$ = $f(T) - f(T) \over T$ = $0$

pero cómo puedo confirmar que es un punto diferente.

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Gracias de antemano

Answer 1

Otra forma de proceder sería simplemente recordar cómo se demuestra el teorema de Rolle en primer lugar. Supongamos que $f$ no es constante (en cuyo caso $f'(x)=0$ en todas partes). Como $[0,T]$ es un intervalo cerrado y $f$ es continua, sabemos (por un teorema) que $f$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en $[0,T]$ , digamos que en los puntos $x_\max, x_\min \in [0,T]$ . Sin embargo, por la periodicidad, se trata en realidad de extremos absolutos de la función en el conjunto de $\mathbb{R}$ . Tenga en cuenta también que $x_\max \neq x_\min$ ya que suponemos que la función no es constante. Ahora, a partir del hecho de que la derivada desaparece en un punto extremo, obtenemos dos puntos donde $f'$ es cero.

Answer 2

• Qué puede hacer si $f$ es continuamente diferenciable :

Supongamos que no existe tal punto. Entonces su función es estrictamente creciente o decreciente, y no puede ser periódica. Ahora supongamos que sólo hay un punto de este tipo, digamos $x_0$ . Entonces tienes que, por $x\in]x_0,x_0+T[$ , $f'(x)>0$ (por ejemplo). Por lo tanto, $$0<\int_{x_0}^{x_0+T}f'(x)\,dx=f(x_0+T)-f(x_0)=0,$$ que es una contradicción. Así que tienes al menos dos puntos de este tipo.

• Lo que se puede hacer en todos los casos :

Aplicar el teorema de Rolle entre $0$ y $T$ , consigue un tal $x_0\in(0,T)$ y luego volver a aplicar el teorema de Rolle entre $x_0$ y $x_0+T$ , entonces obtenga $x_1\in(x_0,x_0+T)$ con $x_0\neq x_1$ Finalmente sólo hay que traducir $x_1$ en $[0,T)$ añadiendo algo de $k\cdot T,k\in\mathbb{Z}$ si no está ya dentro, y tienes tus puntos.

Answer 3

Para intuir lo que ocurre, le sugiero que haga un dibujo. Tienes que estar en uno de los siguientes casos (no excluyentes entre sí) : o bien la función es plana en $0$ (lo que significa que f'(0)=0), o toma el valor $f(0)$ al menos tres veces (lo que permite aplicar el teorema de Rolle dos veces). Permítanme dar la prueba completa.

Supongamos que tenemos $f'(0) = 0$ . A partir del teorema de Rolle, porque $f(0)=f(T)$ también existe $c_1 \in ]0,T[$ tal que $f'(c_1)= 0$ . Así que hemos terminado porque hemos encontrado dos puntos distintos (a saber $0$ y $c_1$ ).

De lo contrario, tenemos $f'(0)\ne 0$ , digamos que $f'(0)> 0$ (el otro caso es similar). Por lo tanto, existe $x \in ]0,T[$ tal que $f(x)> f(0)$ (porque $f$ es creciente en una vecindad de $0$ ). Y del mismo modo $f'(T)=f'(0)>0$ por lo que existe $y \in ]0,T[$ tal que $f(y)<f(T)$ (porque $f$ es creciente en una vecindad de $T$ ). Tenemos $f(x) > f(0) > f(y)$ por lo que, a partir del teorema del valor intermedio, existe $z$ entre $x$ y $y$ (y por tanto en $]0,T[$ ) tal que $f(0)=f(z)=f(T)$ . Ahora puedes aplicar el teorema de Rolle dos veces y encontrar $0 < c_1 < z < c_2 < T$ tal que $f'(c_1)=f'(c_2)=0$ .