En términos categóricos, ¿por qué no hay isomorfismo canónico a partir de un número finito de dimensiones de espacio vectorial a su doble?

Question

He leído en varios lugares que una de las motivaciones para la categoría teoría iba a ser capaz de dar un significado preciso a las declaraciones como, "finito dimensionales espacios vectoriales son canónicamente isomorfo a su doble duales; son isomorfos a sus duales como bien, pero no canónicamente."

Por fin me he sentado a trabajar a través de este, y -

Bueno, sí, es fácil ver que el "isomorfismo canónico" de $V$ $V^{**}$es un functor que tiene un isomorfismo natural (en el sentido de la categoría de la teoría) a la identidad functor.

También, veo que no hay manera de que el functor $V\mapsto V^*$ podría tener un isomorfismo natural para el functor identidad, porque es contravariante mientras que la identidad functor es covariante. Mi pregunta equivale a:

Es contravarianza todo el problema?

Elaborar:

Al principio me sentí decepcionado por el hecho de que la definición de isomorfismo natural no se aplica a un par de functors uno de los cuales es covariante y el otro contravariante, porque tenía la esperanza de que la falta de un isomorfismo canónico $V\rightarrow V^*$ se siente más como un teorema frente a un artefacto de la inaplicabilidad de una definición.

Entonces traté de crear una definición de una transformación natural de un functor covariante $F:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}$ a un functor contravariante $G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}$. A mí me parece que esta definición debe ser que todos los objetos de $A\in\mathscr{A}$ obtener un morfismos $m_A:F(A)\rightarrow G(A)$ tal que para todos los morfismos $f:A\rightarrow A'$$\mathscr{A}$, en el siguiente diagrama (en $\mathscr{B}$) desplazamientos:

$$\requieren{AMScd}\begin{CD} F(A) @>m_A>> G(A)\\ @VF(f)VV @AAG(f)A\\ F(A') @>>m_{A'}> G(A') \end{CD}$$

Esto es mucho más estrictos requisitos de la demanda en el $m_A$ de la típica definición de una transformación natural. De hecho, se está pidiendo que $m_A=G(f)\circ m_{A'}\circ F(f)$, independientemente de lo $f$ o $A'$ puede variar. Tomando $\mathscr{A}=\mathscr{B}=\text{f.d.Vec}_k$, $F$ el functor identidad y $G$ el dualizing functor, es claro que esta definición nunca puede ser satisfecho a menos que $m_V$ es el cero mapa para todos los $V\in\text{f.d.Vec}_k$ (debido a que tomen $f$ a ser el cero mapa). En particular, no puede estar satisfecho si $m_V$ que se requiere para ser un isomorfismo.

Es esta la manera correcta de entender (categóricamente) ¿por qué no es natural isomorfismo $V\rightarrow V^*$?

Como un aparte, hay casos interesantes de algún tipo de señal analógica (la definición anterior o a otro) de natural transformaciones de covariante a contravariante functors?

Nota: he leído un número de matemáticas.SE respuestas acerca de por qué los $V^*$ no es naturalmente isomorfo a $V$. Ninguno que he encontrado son abordados a lo que yo estoy pidiendo aquí, que es acerca de cómo las categorías de hacer la pregunta y la respuesta precisa. (Este era el más cercano.) De ahí mi pregunta aquí.

Answer 1

Felicitaciones, usted ha reinventado el concepto de un dinatural transformación (véase, por ejemplo, MacLane de Categorías para el trabajo matemático, sección IX.4). Y su prueba, que cada dinatural transformación de la identidad functor a la dualization functor es cero, es la correcta. Y estoy de acuerdo en que este es uno (y tal vez la única) manera de hacer que precisa que una f.d. espacio vectorial no es canónicamente isomorfo a su doble. Por cierto, para euclidiana espacios vectoriales, no es un isomorfismo canónico, dado por $V \mapsto V^*, v \mapsto \langle v,- \rangle$.

1ª Edición: En los comentarios, Mariano ha sugerido a restringir a isomorphisms como morfismos. Esto se reduce a: Si $n \in \mathbb{N}$, hay algunos $M \in \mathrm{GL}_n(K)$, de tal manera que para todos los $A \in \mathrm{GL}_n(K)$ tenemos $M = A^T \cdot M \cdot A$? Tomando $A$ a ser unos de la diagonal de la matriz podemos ver de inmediato que esto sólo es posible para el caso trivial $n=0$ o al $K=\mathbb{F}_2$.

2ª Edición: veamos más de cerca en el caso de $K=\mathbb{F}_2$. Para $n=1$ podemos tomar $M=(1)$. Como se ha mencionado por ACL (en Mariano del enlace en los comentarios), para $n=2$ podemos tomar $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Así, por $2$-dimensional $\mathbb{F}_2$-espacios vectoriales $V$ no es un isomorfismo canónico $V \cong V^*$ que es natural con respecto a isomorphisms. Es inducida por el único(!) alternando $2$-forma en $V$.

Para $n=3$ esto no es posible: Mediante la adopción de $\small A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ se sigue que $M_{11}=M_{13}=0$, y tomando a $\small A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ es de la siguiente manera $M_{12}=0$, por lo que el $M$ no es invertible. Un razonamiento similar funciona para todas las $n \geq 3$.