¿Conjunto es mayor en la cardinalidad, el conjunto de todas las funciones de $\mathbb R$(the real numbers) en $\mathbb N$(the natural numbers) o el conjunto de todas las funciones de $\mathbb N$ $\mathbb R$? Tengo la sensación que el conjunto de todas las funciones de $\mathbb R$ $\mathbb N$ es equinumerous al conjunto potencia de $\mathbb R$ y que el conjunto de todas las funciones de $\mathbb N$ $\mathbb R$ es equinumerous al conjunto de $\mathbb R$. ¿Alguien por favor me puede proporcionar una respuesta con la prueba?
Respuestas
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Shabaz
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De hecho, el número de funciones de $\Bbb N$ $\Bbb R$ es igual al número de reales. Recuerde el número de funciones $A \to B$ $|B|^{|A|}$ porque tienes $|B|$ opciones de donde enviar cada elemento de $A$, así que eso épocas de elección $|A|$. Puesto que es $|\Bbb R|=2^{\aleph_0}$ el número de funciones de $\Bbb N$ $\Bbb R$ $(2^{\aleph_o})^{\aleph_0}=2^{\aleph_o\cdot \aleph_0}=2^{\aleph_o}$. El número de funciones de $\Bbb R$ $\Bbb N$ es $\aleph_0^{(2^{\aleph_0})}$ que es equivalente al conjunto potencia de $\Bbb R$
Patrick Stevens
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Esta respuesta es elemental: no requiere ningún cardenal aritmética más allá de Cantor-Schröder-Bernstein.
Utilizaremos $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ en lugar de $\mathbb{R}$ cuando es conveniente, ya que es más sencillo. Tomemos $\mathbb{N} = \{1,2,\dots\}$.
El conjunto de funciones de $\mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ es equinumerous con $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. De hecho, dado un subconjunto $A$ de los naturales, podemos crear una función única $\mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ que envía a $n \mapsto A$; por el contrario, dada una función de $\mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ podemos crear un único subconjunto de los naturales tomando los elementos de $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, y así sucesivamente, y que la distingue por parte de potencias de números primos: $$\{2^a, 3^b, 5^c, \dots : a \in f(1), b \in f(2), c \in f(3), \dots \}$$ Así que por Cantor-Schröder-Bernstein, hay un bijection entre el$\mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$$\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
Sin embargo, $\mathbb{R} \to \mathbb{N}$ es al menos tan grande como $\mathcal{P}(\mathbb{R})$. La inyección es fácil: dado un conjunto $A$ de reales, definir una función $\mathbb{R} \to \mathbb{N}$ $r \mapsto 1$ si $r \in A$, e $r \mapsto 2$ lo contrario.
De hecho, $\mathbb{R} \to \mathbb{N}$ es exactamente tan grande como $\mathcal{P}(\mathbb{R})$; usted puede comprobar esto mediante el uso de la misma "las potencias de los números primos" truco anterior (usando $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ en lugar de $\mathbb{R}$), pero va un nivel más profundo. Ejercicio para usted.
