producto de la cuña de forma diferenciada

Question

Si $\alpha $ es una forma más de algunos colector de $M$ $2n-1$ dimensiones reales, y $X= M\times (0,\infty)$. $r$ es la coordenada para el segundo factor. Definir dos forma en $X$: $$\omega= d(r^2\alpha)$$ Entonces tenemos que calcular el $\omega^n$. Lamento si a la siguiente duda son demasiado tonto: Mis dudas son:

1 - creo, $\omega^n:= \omega\wedge..\wedge\omega$, n veces.

2 - $\omega$ es de dos forma, por tanto $\omega\wedge \omega \neq 0$. pero de cualquier forma $\alpha$, debemos tener $\alpha\wedge\alpha= 0$.[Como $\alpha\wedge\alpha= c(\alpha\otimes \alpha- \alpha\otimes \alpha)$

3 - ¿Cuál es la garantía de que $\omega^n\neq 0$, Como en uno(como en la 2ª parte de arriba), podemos decir al $\omega^n=0$ para cualquiera de los dos forma.

Answer 1

1. Que depende de la convención en su libro de texto o apuntes. Pero he visto que la notación utilizada, por lo que no voy a descartar.

2. "Como $\omega$ es una de dos formas, por tanto $\omega\wedge\omega\neq 0$" es falsa. Considere los dos forman $\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$\mathbb{R}^4 = \{(w,x,y,z)| w,x,y,z\in\mathbb{R}\}$. Esta doble forma de cuña con el sí mismo es cero. Lo que quiere decir es que "existe dos formas tales que $\omega\wedge \omega \neq 0$", lo cual es cierto.

3. Hay algunos casos en que $\omega^n = 0$ puede ser fácilmente garantizados por algebraicas restricciones. Para empezar, si la dimensión de $X$ es de menos de $2n$, entonces a partir de la $\omega^n$ $2n$- forma, debe ser idéntica a 0. Esto puede ser generalizado el uso de la clasificación de la diferencial utilizando el formulario de la noción de forma envolvente.

   Deje $V$ ser un espacio vectorial y deje $\eta \in \wedge^p V$. Podemos considerar el menor subespacio $W\subseteq V$ tal que $\eta \in \wedge^p W$. Está claro que si $kp > \mathrm{dim}(W)$ que $\eta^k = 0$. Es fácil ver que, puesto que cada uno forma de vida en una dimensión sub-espacio, esto significa que para una de las formas de $\alpha^k = 0$ si $k > 1$.

Por su forma específica, usted tiene que $$ \omega = 2 r\mathrm{d}r \wedge \alpha + r^2 \mathrm{d}\alpha $$ La principal restricción es lo $\mathrm{d}\alpha$ parece. Pero señalando que $$ (\mathrm{d}r \wedge \alpha)^2 = 0 $$ usted puede calcular directamente (utilizando básicamente la fórmula binominal) que $$ \omega^n = r^{2n} (\mathrm{d}\alpha)^n + 2n r^{2n-1} \mathrm{d} r \wedge \alpha \wedge (\mathrm{d}\alpha)^{n-1} ~.$$ Si este se desvanecen se determina por si $(\mathrm{d}\alpha)^n$ se desvanece y si $\alpha\wedge(\mathrm{d}\alpha)^{n-1}$ se desvanece.

Ahora, ya por su edición, $M$ $2n-1$ dimensiones. Necesariamente $(\mathrm{d}\alpha)^n$ $2n$ formulario $M$ debe ser cero. Así que usted se reducen a $$ \omega^n = 2n r^{2n-1} \mathrm{d}r\wedge\alpha\wedge(\mathrm{d}\alpha)^{n-1} $$

Este es el mejor que se puede hacer en abstracto, a menos obtener más información acerca de $\alpha$ es dado. Como ejemplo, tome $n = 2$ $M = \mathbb{R}^3$ con coordenadas $x,y,z$. Deje $\alpha = \mathrm{d}z + x\mathrm{d}y$. A continuación, $\mathrm{d}\alpha = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$ y $$ \omega^2 = 4 r^3 \mathrm{d}r \wedge \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y~.$$