¿Por qué es la actitud ingenua de recursiva a la definición de medida de Lebesgue no satisfactoria?

Question

Como yo lo entiendo, el espíritu de la medida de Lebesgue es:

Un intervalo es medible y la medida de un intervalo es la diferencia absoluta entre sus extremos. La medida de una contables de la unión de distintos conjuntos medibles es la suma de sus medidas. Sólo establece que esta definición recursiva "llega" son medibles.

Me doy cuenta de que el problema es que, en cierto sentido, este le dice "un conjunto es medible si" sin proporcionar una muy precisa "...y sólo si". Pero me parece que no puede convencer realmente a mí mismo que esto es un problema. La idea básica es que esta definición proporciona un algoritmo para determinar la medida de un conjunto. El algoritmo realiza o no se aplica a un conjunto dado. Hay conjuntos tales que su medición es ambigua según la definición anterior?

Answer 1

Su definición es esencialmente buena, pero incompleta.

Se debe indicar que la unión está tomando es distinto, y también necesita una cláusula que indica que si $A$ es un subconjunto medible de un intervalo de $I$, entonces la medida del complemento de $A$ $I$ es la medida de $I$ menos que de $A$. Después de añadir esta cláusula de su "ingenua" de la definición que proporciona la medida correcta para todos los conjuntos de Borel. La recursividad se lleva a $\omega_1$ pasos, lo que significa que si $\alpha$ es un (posiblemente infinita, pero contables ordinal, entonces el funcionamiento de su definición sólo para $\alpha$ muchas etapas de no asignar medida a algunos de los conjuntos de Borel.

Para ser precisos: podemos llamar a $A$ un nivel de $0$ fib es un intervalo, para $\alpha$ contables, llame a $A$ un nivel de $\alpha+1$ fib no es un nivel de $\alpha$, pero es el contable de la unión de los conjuntos de $A_n$ de nivel de $\alpha$ o el complemento de un nivel de $\alpha$, y llame a $A$ un nivel de $\gamma$, $\gamma$ una contables límite ordinal, el fib no es un nivel de $\beta$ cualquier $\beta<\gamma$, y hay una secuencia $\gamma_n$ de los ordinales menores que $\gamma$, y para cada una de las $n$ hay un conjunto $A_n$ de nivel de $\gamma_n$,$A=\bigcup_n A_n$. Nuestra definición asigna medidas para todos los conjuntos de nivel de $\alpha$, para cualquier contables $\alpha$, y para cada una de las $\alpha$ hay al menos un conjunto de nivel de $\alpha$, de modo que no se puede detener antes de esa etapa. Por otro lado, la colección de todos los conjuntos de contables de nivel es cerrado bajo las cláusulas de su definición.

(En el descriptivo de la teoría de que en realidad el uso de algo muy cerca de su enfoque para describir la Borel complejidad de un conjunto. Este enfoque, de la asignación de un nivel de complejidad de las series, nos permite demostrar afirmaciones acerca de los conjuntos de Borel por inducción transfinita, y es realmente muy útil. En la práctica, sin embargo, es muy raro que ocurra en un conjunto de Borel cuyo nivel está más allá de, digamos, $5$.)

Para ver la necesidad de que el extra de la cláusula relativa a la complementa: queremos que los embarazos únicos a ser medida cero. Quizás esta es la multa si somos liberales con nuestra interpretación de la palabra "intervalo". Pero sin el extra de la cláusula, ni siquiera el conjunto de Cantor se le asigna una medida.

Cláusulas adicionales serán necesarios si se quiere llegar a todos los Lebesgue medibles conjuntos. Quizás lo más sencillo es decir que si $A$ es medible y tiene medida cero, entonces cualquier subconjunto de a $A$ también se puede medir con la medida de cero, y que si $A$ es medible y $B$ tiene medida cero, entonces $A\cup B$ es medible y tiene la misma medida como $A$.

Por supuesto, hay dificultades con este enfoque. Por ejemplo, uno necesita, para comprobar que es auto-consistente, lo que significa que si un conjunto $A$ es testigo de nivel de $\alpha$ en dos formas diferentes, tenemos que demostrar que los dos "testigos" asignar a $A$ la misma medida. De igual manera para la cláusula adicional que he mencionado en el párrafo anterior. También se debe verificar que este enfoque comprende todos los conjuntos medibles. (Yo no requieren que los sindicatos de la verificación de un conjunto es el nivel de $\alpha$ ser distinto, aunque me exige que cuando llegó a la asignación de medidas. Algunos cuidados adicionales se necesita para lidiar con este detalle.)

Answer 2

Hay dos problemas que puedo ver:

1. Como duende menciona en el comentario, sólo establece que son contables de la unión de intervalos disjuntos son "medibles" de acuerdo a su definición. Por desgracia, esto no es suficiente. Por ejemplo, la medida del conjunto de Cantor o la grasa conjunto de Cantor sigue siendo indefinido.

2. Aún así, usted necesita demostrar que su definición es consistente. Es decir, si usted puede escribir un conjunto de $A$ como una contables de la unión de distintos intervalos de dos maneras diferentes, ambas descomposiciones conducen al mismo valor para la medida de la $A$.

Editar:

Si usted cambia su definición, de manera que el complemento del conjunto medible $A$ tiene una medida de $1$ menos que la medida de $A$ (asumiendo que su espacio es el de la unidad de intervalo), entonces su familia de conjuntos medibles se ampliará y se establece como el conjunto de Cantor, serán cubiertos. Sin embargo, aún habrá dos dificultades:

3. Aún así, usted necesita demostrar que la intersección de dos conjuntos medibles es medible. (No estoy seguro de que este sería el caso). Esta propiedad es fundamental en las aplicaciones, por ejemplo en la definición de probabilidad condicional, o en la prueba de la continuidad de la medida.

4. Usted todavía tiene un altamente no trivial tarea de mostrar la coherencia de la definición.

Answer 3

Hay algunas técnicas nitpicks con su definición, tal como usted desea una contables distintos de la unión antes de que usted puede simplemente sumar las medidas de los uniees. Si usted puede arreglar, parece probable que usted termina para arriba con el estándar de la medida de Borel en $\mathbb R$.

El problema con el uso de este como su defecto uno-tamaño-caber-toda medida, es que no satisface "squeeze" teoremas tales como

Deje $A$ a un y $L$ algún número. Asumir que por cada $\varepsilon>0$ existe $B\subseteq A$ $C\supseteq A$ tal que $\mu(B)>L-\varepsilon$$\mu(C)<L+\varepsilon$. A continuación, $A$ se puede medir con la medida $L$.

De hecho, la medida de Lebesgue puede ser caracterizado como el único "menos definida" (es decir, con el menor tamaño posible de dominio) a medida que se extiende el estándar de medida de Borel y satisface este apretón de la propiedad.

Answer 4

Esto debería funcionar bien después de, como alguien sugirió, agregar complementación y, estoy sugiriendo, también permitir cambios modulo sistemas de null. Más explícitamente, en primer lugar puede mostrar que usted consigue una función conjunto numerable aditiva definida en todos los conjuntos G-delta que coincide con la longitud en intervalos y luego extender esta función a todos los conjuntos que igual un delta G configurar modulo un conjunto nulo donde se puede definir null juegos de reales de la manera habitual.