Para ser coherente con la terminología, permítanme definir las palabras que estoy utilizando.
Un módulo $M$ es simple si no tiene submódulos propios distintos de cero, y semi-simple si se puede escribir como una suma directa $M = \bigoplus_i A_i$ donde el $A_i$ son submódulos simples.
Un anillo $R$ es semi-simple si la izquierda $R$ -Módulo $_RR$ es semi-simple. Esto significa que $R$ es una suma directa de ideales "mínimos". Quiero demostrar que tales anillos son también Dedekind-finito es decir, si $a,b\in R$ y $ab = 1$ entonces $ba = 1$ . Quiero hacer esto sin invocando a Artin-Wedderburn. (EDIT: Tenemos "semi-simple $\implies$ Noetheriano $\implies$ Dedekind-finito", pero no sé cómo demostrar la primera implicación sin usar series de composición. Me parece que mi problema se puede resolver sin usar el hecho de que los anillos semi-simples son noetherianos).
Hasta ahora, puedo demostrar que un anillo semi-simple $R$ es una suma directa de finitamente muchos ideales mínimos: si $R = \bigoplus_\lambda A_\lambda$ donde cada $A_\lambda$ es un ideal mínimo de $R$ , a continuación, escriba $1 = e_1 + \cdots + e_n$ donde $e_i \in A_{\lambda_i}$ . De ello se desprende que $r = re_1 + \cdots + re_n$ para cualquier $r \in R$ Así que $R = \bigoplus_{i=1}^n A_{\lambda_i}$ . Abreviemos la notación estableciendo $A_i := A_{\lambda_i}$ .
Bien, ahora supongamos que $a,b\in R$ son tales que $ab = 1$ . Queremos demostrar que $ba = 1$ . He intentado resolver el problema en el caso de que $a \in A_i$ para algunos $i$ . En primer lugar, obtenemos $ab = 1 \implies bab = b \implies (ba - 1)b = 0$ . Desde $b\neq 0$ , habríamos terminado si $R$ es un dominio. Incluso si $R$ no es un dominio, creo que podemos demostrar que debemos tener $ba - 1 = 0$ Aunque mi enfoque no funciona.
Definir un $R$ -homomorfismo de módulo $F: R \rightarrow R$ por $F(r):= rb$ . Supongamos que $a\in A_i$ para algunos $i$ . Entonces $F$ es distinto de cero en $A_i$ ya que $F(a) = ab = 1 \neq 0$ . (Aquí es donde usamos ese $a \in A_i$ .) Si restringimos $F$ a $A_i$ el núcleo de esta restricción es propio (ya que $F$ es distinto de cero) y, por tanto, el núcleo debe ser $\{0\}$ (porque $A_i$ es mínima). Por lo tanto, la restricción de $F$ a $A_i$ es uno a uno.
Tenga en cuenta que $F(ba - 1) = (ba - 1)b = 0$ como se ha mencionado anteriormente. Dado que $F$ es uno a uno, debemos tener $ba - 1 = 0$ según sea necesario.
Problema con este último argumento: sólo sabemos que $F$ es uno a uno en $A_i$ pero no sabemos que $ba - 1 \in A_i$ . De hecho, si $ba - 1 \in A_i$ entonces $1 = ba + -(ba - 1) \in A_i$ desde $a \in A_i$ . Así, $A_i$ no es adecuado, por lo que $_RR = {_R}A_i$ es un simple $R$ -lo que significa que $R$ es un anillo de división (es fácil demostrar que " $_RR$ simple $\implies$ $R$ es un anillo de división"). Como los anillos de división son claramente definidos por Dedekind, el problema es trivial en este caso.
De todos modos, mi intento de utilizar un homomorfismo $F$ no funciona realmente. Pero podría ser posible salvar el enfoque modificándolo ligeramente. Aun así, esto sólo daría el resultado cuando $a \in A_i$ para algunos $i$ pero es de esperar que este caso especial pueda utilizarse para demostrar la afirmación más general.
Recordemos que quiero demostrar que los anillos semi-simples son Dedekind-finitos sin utilizando el teorema de Artin-Wedderburn.
¡Salud!
