Posible error en Royden y Fitzpatrick ' libro s análisis Real

Question

Proposición 19(v) de sección 1.5 página 23 en el libro Análisis Real por Royden y Fitzpatrick, 4ª edición (ver enlace), dice:

Si $a_n \le b_n$ % todo $n$, entonces el $\lim\sup a_n \le \lim \inf b_n$.

Sin embargo se puede encontrar un contraejemplo para una secuencia $a_n = b_n$ liminf y limsup diferentes. ¿Es un error, o me estoy perdiendo algo obvio?

Answer 1

Parece que tienes razón.

Tomar $a_n=0$ si $n$ es impar y $a_n=1$ $n$ es.

Tomar $b_n=a_n+0.5$

Then $\forall n$ $ a_n<b_n$ and $\limsup a_n=1$, $\liminf b_n=0.5$...

Answer 2

Se identificó el problema. Es probablemente un error tipográfico y $$ \liminf\{a_n\}\le\limsup\{b_n\} $$ fue significado.

Answer 3

Como otros, es un error, de hecho.

Lo que es cierto es que si $a_n\leq b_n$ termwise, entonces tanto $$\liminf_{n\to\infty}a_n\leq\liminf_{n\to\infty}b_n$$ and $$\limsup_{n\to\infty}a_n\leq\limsup_{n\to\infty}b_n$ $ hold.