La probabilidad de que una persona borracha, aleatoria a pie

Question

Una persona ebria maravillas sin rumbo a lo largo de un camino por el que va adelante 1 paso atrás y hacia 1 paso con igualdad de probabilidades de $\frac12$.

a) Después de 10 pasos, ¿cuál es la probabilidad de que él se ha movido a 2 pasos hacia adelante?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se llegue a la puerta de su casa dentro de los 20 pasos antes de que él se derrumba con la puerta de 6 pasos delante de él.

Mi enfoque fue el uso de la Binomial en ambos casos:

a)${10\choose6} 0.5^{10}$. Puedo seguir 6 pasos hacia adelante y 4 hacia atrás y voy a estar en el punto +2.

b)${20\choose6} 0.5^{20}$

Creo que tengo la parte a) es correcta, pero no b). No sé cómo manejar el hecho de que en el punto 6+ es de la casa, una parada.

Alguien me puede ayudar con la parte b)? Estoy viendo esto de malo? Estoy pensando que él es igual a cero, sino que se puede ir a -1 punto. En realidad no estoy seguro de si se puede ir de 0 a -1.

Answer 1

Negativo distribución binomial se utiliza si los eventos son DEPENDIENTES uno del otro. Por ejemplo, en su caso, en el caso de que el hombre borracho iba a dar otro paso depende de si él ha llegado a la puerta de entrada. Supongamos que llega a la puerta de entrada en $13$ pasos. A continuación, el resto de la $7$ pasos serían eliminados, es decir, no hay necesidad para ellos de acuerdo con el problema. Por lo tanto el número de pasos que son dependientes.

La probabilidad de $k$th éxito en $n$th juicio con la probabilidad de éxito de $p$ está dado por el negativo de la distribución binomial por la fórmula

$$\displaystyle P(X)=\binom {n-1}{k-1}p^{k}\left(1-p\right)^{\left(n-k\right)}$$

Primero calculamos la probabilidad de que haya al menos $k$ backsteps en la primera $6+k$ pasos, es decir,, $$\displaystyle P_X=1-\sum_{X=0}^{k-1}\binom {6+(k-1)}{X}(0.5)^{X}\left(1-0.5\right)^{\left(6+(k-1)-X\right)}=1-\sum_{X=0}^{k-1}\binom {5+k}{X}\left(0.5\right)^{\left(5+k\right)}$$ We will multiply this factor to probabilities of the respective cases whenever the number of forward steps exceeds $6$.

En $20$ pasos, las posibles formas en que el hombre borracho se puede llegar a la puerta delantera $6$ pasos delante de él, donde $p$ $0.5$ son:

1) Todos los $6$ pasos son los escalones de la entrada. Esto significa $6$th éxito en $6$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=\binom {6-1}{6-1}(0.5)^{6}\left(1-0.5\right)^{\left(6-6\right)}=\left(\frac{1}{64}\right)$$

2) $1$ paso atrás y $7$ frente pasos. Esto significa $7$th éxito en $8$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_1\binom {8-1}{7-1}(0.5)^{7}\left(1-0.5\right)^{\left(8-7\right)}=\left(\frac{63}{64}\right) \left(\frac{7}{256}\right)$$

3) $2$ pasos y $8$ frente pasos. Esto significa $8$th éxito en $10$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_2\binom {10-1}{8-1}(0.5)^{8}\left(1-0.5\right)^{\left(10-8\right)}=\left(\frac{15}{16}\right) \left(\frac{9}{256}\right)$$

4) $3$ pasos y $9$ frente pasos. Esto significa $9$th éxito en $12$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_3\binom {12-1}{9-1}(0.5)^{9}\left(1-0.5\right)^{\left(12-9\right)}=\left(\frac{219}{256}\right) \left(\frac{165}{4096}\right)$$

5) $4$ pasos y $10$ frente pasos. Esto significa $10$th éxito en $14$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_4\binom {14-1}{10-1}(0.5)^{10}\left(1-0.5\right)^{\left(14-10\right)}=\left(\frac{191}{256}\right) \left(\frac{715}{16384}\right)$$

6) $5$ pasos y $11$ frente pasos. Esto significa $11$th éxito en $16$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_5\binom {16-1}{11-1}(0.5)^{11}\left(1-0.5\right)^{\left(16-11\right)}=\left(\frac{319}{512}\right) \left(\frac{3003}{65536}\right)$$

7) $6$ pasos y $12$ frente pasos. Esto significa $12$th éxito en $18$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_6\binom {18-1}{12-1}(0.5)^{12}\left(1-0.5\right)^{\left(18-12\right)}=\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1547}{32768}\right)$$

8) $7$ pasos y $13$ frente pasos. Esto significa $13$th éxito en $20$th juicio y, por tanto, se convierte en

$$\displaystyle P(X)=P_7\binom {20-1}{13-1}(0.5)^{13}\left(1-0.5\right)^{\left(20-13\right)}=\left(\frac{793}{2048}\right) \left(\frac{12597}{262144}\right)$$

La adición de todas las probabilidades de los rendimientos de $0.213283$.

Answer 2

Considere el triángulo de Pascal por un momento.

$$ \begin{matrix} & & & & & & 1 \\ & & & & & 1 & & 1\\ & & & & 1 & & 2 & & 1 \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1\\ 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1\end{de la matriz} $$ Ahora, cada número es el número de caminos de la inicial $1$ en la parte superior de las respectivas punto, de tal forma que cada paso es hacia abajo.

Lo que nosotros buscamos es el número de caminos que llegan a la sexta columna de la derecha (o izquierda) de centro. Veamos el caso de dos columnas a la derecha en cuatro pasos. En este caso, no se ${4\choose 3}=4$ caminos que terminan en la segunda columna. A continuación, hay una ruta de acceso directamente a la segunda columna, dos de los cuales no luego terminar en la segunda columna, dando un total de $6$.

Ahora, considere el caso de dos y seis. En este caso, contamos con 15 rutas de acabado en la segunda columna, luego hay 4 rutas de acceso a la segunda columna en cuatro pasos con dos caminos a partir de allí que no, a continuación, en finalizar en la segunda columna, y hay un camino a la segunda columna en dos pasos y, a continuación, los seis caminos de ahí que no toque la segunda columna de nuevo. Esto produce un total de $15\cdot1+4\cdot2+1\cdot6=29$. Para la confirmación, aquí están el 29 de posibles caminos de longitud seis llegar a la posición 2:

$$\begin{matrix}++++++,& +++++-,& ++++-+,& \color{red}{++++--},& +++-++,\\ +++-+-,& \color{red}{+++--+}, &+++---,& ++-+++,& \color{red}{++-++-},\\ \color{red}{++-+-+},& ++-+--,& \color{red}{++--++},& ++--+-,& ++---+,\\ ++----,& +-++++,& \color{red}{+-+++-},& \color{red}{+-++-+},& +-++--,\\ \color{red}{+-+-++},& \color{red}{+--+++},& +--++-,& \color{red}{-++++-},& \color{red}{-+++-+},\\ -+++--,& \color{red}{-++-++},& \color{red}{-+-+++},& \color{red}{--++++}\end{matrix}$$ Me han coloreado el que termina en la posición dos en rojo. Ahora podemos expresar la misma suma en la forma $$ {6\choose4}\cdot1+{4\choose3}\cdot2+{2\choose2}\cdot6 $$

Podemos generalizar esta sin demasiados problemas (vamos a restringir a una posición de objetivos). Podemos expresar la suma en la forma $$ S_{M,N} = \sum_{k=N}^{M} {2k\elegir k+N}{2(M-k)\elegir M-k} $$ donde $N=n/2$ es la mitad de la distancia a la puerta (como la distancia es aún) y $M=m/2$ es la mitad del número total de pasos. Por qué la segunda combinatoria? Porque si usted trabaja a cabo, el número de caminos de longitud $2n$ que no regrese al centro de la columna pasa a ser $2n\choose n$.

Ahora, solo para demostrar que el trabajo, el aviso de que $$ S_{2,1} = 6\\ S_{3,1} = 29\\ S_{3,2} = 8 $$ También tenga en cuenta que, como se esperaba, $S_{n,n}=1$.

Ahora, estamos buscando a $n=6$$m=20$, lo $N=3$$M=10$, dando $$ S_{10,3} = 198440 $$ Y, por supuesto, el número total de rutas de más de 20 pasos es $2^{20}$, por lo que la probabilidad es $$ P = \frac{198440}{2^{20}} = \frac{198440}{1048576} \approx 0.189 $$ Así que hay aproximadamente un 19% de probabilidad de que el borracho llegar a la puerta.