Un rompecabezas que llegó cuando estoy medio despierto

Question

Cuando estoy a punto de despertarme por la mañana, un rompecabezas se me mete en la cabeza.

cuando $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ son ambos no enteros donde $a,b$ son enteros positivos es posible que $\sqrt{ab}$ sea un número entero.

Mi intento: Todavía en medio del despertar

Si $\sqrt{ab}$ es un número entero, entonces $a + b + \sqrt{ab}$ es un número entero positivo

\=> $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ es un número entero positivo

Pero no pude avanzar desde aquí.

Intenté una combinación diferente pero no encontré ningún par de este tipo $a,b$ . Es una salida. Cómo encontrarlo o demostrar que no existe tal par

Editar: Creo que por cada caso de $a=b$ Esto es bueno, así que creo que los casos deben ser omitidos

Answer 1

Sólo tienes que elegir $a,b$ para que ninguno de ellos sea un número cuadrado sino $ab$ es un número cuadrado.

Ejemplo: $a=3, b=12, \sqrt{ab}=6$

Answer 2

Los únicos divisores de $p^2$ , donde $p$ es primo, son $1, p, p^2$ y por lo tanto no puede ser una solución.
Por lo tanto, elija el cuadrado de cualquier número compuesto $q$ .
Dado que un número compuesto puede escribirse como $q = \prod\limits_{p_i \text{prime}} p_i^{e_i}$ donde $e_i \ge 0$ y hay al menos una $e_i > 0$ .
Supongamos, en aras de la simplicidad, $q = p_1p_2$ . Entonces, $q^2 = p_1^2 p_2^2$ . Ahora $q^2 = (p_1p_1p_2)(p_2)$ y ninguno de $p_1p_1p_2$ y $p_2$ son cuadrados perfectos.
Ahora, pon $\sqrt{a} = \sqrt{p_1p_1p_2} = \sqrt{\dfrac{q^2}{p_2}}$ y $ \sqrt{b} = \sqrt{p_2} = \sqrt{\dfrac{q^2}{p_1p_1p_2}}$ , ambos no son números naturales, sin embargo su producto $ = \sqrt{\dfrac{q^2}{p_1^2p_2^2}} = 1$ es un número natural.
Esto se puede generalizar de manera similar para el $q = \prod\limits_{p_i \text{prime}} p_i^{e_i}$ y así se tiene un número infinito de soluciones.

Answer 3

si eliges a,b tal que gcd(a,b) = 1 nunca ocurre..para cualquier otro caso, dado un a siempre puedes encontrar un "b" que satisfaga la condición.

Answer 4

Dejemos que $v_p(n)$ sea el exponente del primo $p$ en la factorización de $n$ .

Entonces, $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ son ambos no enteros y $\sqrt{ab}$ es un número entero si $v_p(a)$ y $v_p(b)$ tienen la misma paridad para todos los primos $p$ .

En particular, teniendo en cuenta $a$ , puede encontrar $b$ tomando el producto de todos los $p$ tal que $v_p(a)$ es impar. Puedes encontrar infinidad de $b$ multiplicando ese producto por un cuadrado.