Núcleo de un homomorfismo de un grupo libre en $\mathbb{Z}$.

Question

Que $F$ ser por lo menos un grupo libre no abeliano, es decir, un grupo libre de rango $2$, y que $\phi: F \rightarrow \mathbb{Z}$ ser un homomorfismo de grupo no trivial. ¿Cómo demostrar que el núcleo de $\phi$ no es finitamente generado?

Answer 1

Para una prueba totalmente diferente, que utiliza sólo la propiedad universal de grupos libres, podría factor su mapa $\phi:F \to {\mathbb Z}$ $\phi:F \to H \to {\mathbb Z}$, $H$ Dónde está la corona producto ${\mathbb Z} \wr {\mathbb Z}$ y observar que el núcleo de $H \to {\mathbb Z}$ se genera infinitamente.

Answer 2

No es un resultado útil que se puede utilizar para probar esto.

Deje $F$ ser un grupo libre y $E \leq F$$|F:E| = \infty$. Supongamos que $\exists \: \{1\} \neq N \unlhd G$$N \leq E$. Entonces el rango de a $E$ es infinito.

La prueba es la siguiente y supone la familiaridad con la teoría de Schreier generadores de subgrupos de libre grupos.

Deje $F$ libre $X$, vamos a $U$ ser un Schreier transversal de $E$ $F$ e,$g \in F$, denotar el elemento en $U \cap Eg$$\overline{g}$.

Deje $1 \neq w = a_1 \cdots a_l \in N \leq E$,$a_i \in X^{\pm 1}$. Para $u \in U$, $Euw = Euwu^{-1}u = Eu$, desde $uwu^{-1} \in N \leq E$. Por lo $\overline{uw} = u$, e $uw \not\in U$, por lo que hay un mínimo de $k$ tal que $ua_1 \cdots a_k \notin U$. Deje $u_k := ua_1 \cdots a_{k-1}$. A continuación,$u_k \in U$$u_ka_k \notin U$, lo $u_ka_k\overline{u_ka_k}^{-1}$ no es trivial. Desde $U$ es infinito y $l$ es fijo, es un subconjunto infinito $V$ $U$ y un fijo $k$ con $1 \le k \le l$, de tal manera que $k$ es mínima con $u_ka_k \notin U$ todos los $u \in V$. A continuación, $\left\{ u_ka_k\overline{u_ka_k}^{-1} : u \in V \right\}$ es un infinito subconjunto del conjunto de Schreier generadores de $E$, y, por tanto, $E$ tiene infinito valor.

Answer 3

Esto se deduce ya que el rango de cualquier infinita-índice subgrupo de un nonabelian gratis de grupo es infinito. Una manera de probar esto es por que cubre el espacio de la teoría. Un infinito índice subgrupo corresponde a una portada de una cuña de círculos donde cada punto tiene un número infinito de preimages. Entonces, si la cubierta no es un árbol, hay al menos un bucle, $L$. Actuando en $L$ por la infinita grupo de la cubierta transformaciones da infinidad de copias de $L$, pero algunos de ellos pueden intersecar o incluso coincidir. Sin embargo, ya que cada circuito tiene un número finito de bordes, sólo un número finito de copias de $L$ puede intersectar $L$. Así que puede producir una infinidad de distintos bucles. Así, la gráfica tiene infinito valor.