¿Y si $\pi$ ¿era un número algebraico? (significado de los números algebraicos)

Question

Para ser sincero, nunca entendí la importancia de los números algebraicos. Si viviéramos en un universo donde $\pi$ fuera algebraico, ¿habría una diferencia palpable entre ese universo y el nuestro?

Mi elección de $\pi$ para esta pregunta no es realmente tan importante, cualquier otro ''famoso'' número trascendental (es decir. $e$ ) podría funcionar. Soy consciente de que hay muchos problemas abiertos para decidir si un número es trascendental o algebraico (por ejemplo, la constante de Apery, la constante de Euler-Mascheroni e incluso la constante de $\pi + e$ ).

¿Son importantes esos problemas sólo porque son difíciles de abordar? ¿Son importantes en absoluto? Si mañana se publicara una prueba de la algebraicidad de esos números, ¿qué ganaríamos con ello?

EDIT: OK, tal vez me tomé demasiada ''libertad artística'' con el título de mi pregunta. En realidad no tenía curiosidad por los universos alternativos. En el fondo era: ¿por qué son importantes esas pruebas? ¿Por qué "ser un número trascendental" es una propiedad importante de un número?

Answer 1

Tal universo no es posible, sería un universo en el que $1$ es igual a $2$ .

Dicho esto, una aproximación racional a $\pi$ con error $\lt 10^{-200}$ es sin duda suficiente a efectos prácticos.

La prueba de Lindemann de que $\pi$ es trascendental fue un gran logro, pero conocer el resultado no tiene consecuencias fuera de las matemáticas.

Answer 2

Tienes que entender que aunque $\pi$ es un número real, en realidad no es un número real. Es decir, está en $\mathbb{R}$ pero ese conjunto no existe en el universo físico. Es una abstracción, igual que el número imaginario $i$ es una abstracción que se ha utilizado mucho en física (mecánica cuántica e ingeniería eléctrica, entre otras). Al igual que la idea de un número es una abstracción: la abstracción de asignar la misma descripción a diferentes cantidades que no están directamente relacionadas.

Lo que quiero decir es que la cualidad del universo que permite que tales abstracciones sean imaginadas por criaturas inteligentes no parece ser separable de la cualidad que permite que existan criaturas inteligentes e imaginativas. Sólo hace falta un lenguaje suficientemente descriptivo, como el de la lógica matemática, para escribir la definición formal de $\pi$ y, de hecho, de todas nuestras matemáticas, lo que implica todas las propiedades algebraicas y analíticas de $\pi$ ¡que hemos demostrado porque escribimos las pruebas en ese idioma!

Así que no puede existir tal universo físico alternativo. Por otro lado, uno podría imaginar basar la definición de $\pi$ en axiomas alternativos, como los que especifican una geometría no euclidiana particular, en algunos de los cuales sí se tiene $\pi = 3$ digamos. Al menos en algunos círculos.

Answer 3

Es interesante que nadie lo haya mencionado: Una consecuencia práctica es que no se puede construir $\pi$ utilizando un compás y una regla. Esto ha ahorrado tantas y tantas horas de trabajo; si Lindemann no ha demostrado $\pi$ fueran trascendentales no tendríamos, por ejemplo, caramel macchiato (o, lo que es más significativo, aviones).

Answer 4

Sólo para ampliar un poco la respuesta de trb456.

Si $\pi$ era algebraico entonces eso podría significar que hay algún polinomio razonablemente simple $p(x)$ para el que era un cero. Esto estaría muy bien porque entonces todo lo que tendría que hacer con un número misterioso $\xi$ para comprobar si era $\pi$ es comprobar si $p(\xi)=0$ y luego tal vez hacer un poco más de contabilidad para verificar que $\xi$ era realmente el verdadero $\pi$ .

Por ejemplo, imaginemos que tenemos un número misterioso $\eta$ y queremos comprobar que $\eta = \sqrt{2}$ . ¿Cómo hacerlo? (a los efectos de esta hipótesis, supongamos que todas las calculadoras están controladas por robots malvados, conscientes de sí mismos, en los que no se puede confiar, y que tenemos que hacer los cálculos con lápiz y papel para estar seguros). $p(x)=x^2-2$ tiene $p(\sqrt{2}) = 0$ pero $p(-\sqrt{2}) = 0$ para comprobar el número que se $\sqrt{2}$ También necesitaría comprobar el signo del número por algún método.

Así que quizás puedas ver la utilidad de que un número sea algebraico. Hay un número finito de operadores algebraicos que podemos aplicar a un candidato potencial para determinar si se trata del número algebraico en cuestión.

Por el contrario, para mostrar algún número potencial es $\pi$ tendremos que recurrir a una matemática más profunda. Algún análisis, series, etc. Tenemos notaciones convenientes para ocultar la sofsiticación, pero $\sqrt{2}$ es mucho más fácil de definir que $\pi$ .

En cualquier caso, probablemente habría que convenir en que existe algún número racional suficientemente preciso que recoge el concepto de $\pi$ para la necesidad de cualquier problema físico que implique $\pi$ por lo que la ausencia de la comprobación polinómica es poco preocupante. La mayoría de las veces $p(x)=x-22/7$ lo hará bien.

Answer 5

Probablemente esto no responda a lo que realmente quieres saber. Parece que estás más interesado en conocer el significado de los números algebraicos.

Dicho esto, Este documento por Ivan Niven proporciona una prueba de que $\pi$ es trascendental. La prueba es una prueba por contradicción. Es decir, Niven asume que $\pi$ es algebraica y deriva una contradicción. Así que cuando se pregunta qué pasaría si $\pi$ fuera algebraico, entonces Ivan Niven tiene algo muy concreto. Podrías intentar echar un vistazo al documento para averiguar qué contradicción deduce.

Y ahora la pregunta es: ¿qué otras afirmaciones se pueden deducir de esto? El hecho es que se puede demostrar cualquier cosa a partir de una afirmación falsa. Así que, como se ha mencionado en otras respuestas, se puede demostrar que cualquier afirmación es verdadera. Y aquí es (al menos en un lugar) donde está la "importancia".

(Encontré el enlace al artículo en esta respuesta .)