Número de base invariante

Question

¿Cómo podemos demostrar que $R$ tiene IBN si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. Todos los subrings finitamente generados $S$ de $R$ tienen IBN, o

2. $R$ tiene un subring $S$ con el IBN tal que $R$ es un libre finitamente generado $S$ -módulo.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que 1. se mantiene. Si $R^n \cong R^m$ es un isomorfismo de $R$ -entonces está dada por un módulo invertible $m \times n$ -con entradas en $R$ . Estas entradas, así como las entradas de la matriz inversa, generan un subring de generación finita $S$ de $R$ . Obtenemos un isomorfismo de $S$ -módulos $S^n \cong S^m$ , lo que implica $n=m$ .

Supongamos que 2. se mantiene. Sea $d \in \mathbb{N}$ tal que $R \cong S^d$ como $S$ -módulos. Dado que $R \neq 0$ (por lo demás $S=0$ no tiene IBN), tenemos $d>0$ . Entonces $R^n \cong R^m$ como $R$ -módulos implica $S^{nd} \cong S^{md}$ como $S$ -y, por lo tanto, los módulos $nd=md$ y por lo tanto $n=m$ (ya que $d>0$ ).

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Por cierto, 1. ofrece una buena prueba de que los anillos conmutativos $R \neq 0$ tienen IBN (sin reducir al caso de campo, que será un caso especial): Podemos suponer que $R$ está generada finitamente. Entonces se sabe que todo campo de residuos es un campo finito . Por lo tanto, podemos incluso suponer que $R$ es un anillo finito, digamos con $e>1$ elementos. Pero entonces $R^n \cong R^m$ implica $e^n=e^m$ Por lo tanto $n=m$ .