¿Cómo determinar la medida de la ecuación integral?

Question

Deje $\{c_{n}\}_{n\in \mathbb Z}\subset \mathbb C$ $\sum_{n\in \mathbb Z} |c_{n}| < \infty$ (es decir, la serie de $\sum c_{n}$ es absolutamente converge); definimos $F:\mathbb R \to \mathbb C$ tal que $F(y)= \sum_{n\in \mathbb Z}( c_{n}\cdot e^{iny})$, $(y\in \mathbb R).$

Supongamos que existe delimitada complejo medida de Borel en $\mathbb R$ tal que $$F(y)= \int_{\mathbb R} e^{-iyx} d\mu(x); \ (y\in \mathbb R).$$

Mis Preguntas:

(1) ¿Qué podemos decir acerca de $\mu$ ? (2) Podemos esperar para determinar el $\mu$ sólo a partir de la información anterior; o necesitamos un poco más de información para determinar el $\mu$ ? Puede usted sugiere algún método para determinar el $\mu$ en esa situación ?

Gracias,

Answer 1

De la observación. Dada la representación de $F$ como una serie de Fourier, un candidato para $\mu$ es $$ \tilde\mu=\sum_{k\in\mathbb Z}c_k\delta_k, $$ donde $\delta_k$ es la unidad de masa de Dirac en $k$. Claramente $$ F(y)=\sum_{k\in \mathbb Z}c_k\,\mathrm{e}^{ikx}= \sum_{k\in \mathbb Z}c_k\int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{ixy}\,d\delta_k(x)=\int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{ixy}\,d\tilde\mu(x). $$

¿Cómo supongo que? Simplemente considerando inicialmente que $F(y)=\mathrm{e}^{kyi}$.

Ahora debemos demostrar que $\mu=\tilde \mu$. Deje $\nu=\mu-\tilde \mu$. Entonces $$ 0=F(y)-F(y)=\int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{ixy}\,d\mu(x)-\int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{ixy}\,d\tilde\mu(x)=\int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{ixy}\,d\nu(x), \quad \text{para todos los $y\in\mathbb R.$} $$ Pero esto implica que $\nu=0$.