Grupos libres y derivados

Question

Por definición, un derivado de un grupo $G$ es un mapeo $D:G\rightarrow\mathbb{Z}G$ tal que $D(gh)=D(g)+gD(h)$ . Ahora mi pregunta: uppose $G$ es un grupo libre $F=F(X)$ con $X$ un conjunto finito y supongamos $D$ es cualquier derivada. ¿Por qué es $D$ completamente determinado por los valores $D(x)$ (para $x\in X$ ) que toma en los generadores. Por qué mantiene la fórmula: $$D(w)=\sum_{x\in X}{a_x(w)D(x)},\ \ \ a_x(w)\in\mathbb{Z}F$$ y ¿cuáles son los coeficientes? Aquí $\mathbb{Z}F$ es el grupo de $F$ . ¿Puede alguien ayudarme con esta pregunta?

Para más información sobre un derivado definido anteriormente:

• $D(g^{-1})=-g^{-1}D(g)$
• $D(g^n)=\frac{g^n-1}{g-1}D(g)$

Answer 1

Porque sí, $F$ está libre en el plató $X$ , no hay relaciones entre las palabras (más allá de las que hacen que sea un grupo: asociatividad, identidad, inversas). Puedes demostrar tu fórmula por inducción sobre la longitud de la palabra $w$ .

En primer lugar, ¿puede demostrar que $D(1) = 0$ , donde $1 \in F$ ¿es la identidad? Una pista: $1 = 1 \cdot 1$ .

Ya que estamos, ¿por qué no observar que una palabra de longitud $1$ es sólo $w = x$ o $w = x^{-1}$ para $x \in F$ . ¿Ves por qué $D(w)$ es de la forma correcta?

Ahora, para el paso inductivo, se puede escribir cualquier palabra $$ w = w_1 \cdots w_{n - 1} \cdot w_n = (w_1 \cdots w_{n - 1}) \cdot w_n. $$ Usa la regla de Leibniz y la hipótesis inductiva, y tendrás tu resultado. ¿Puedes ver cómo terminarlo?

Answer 2

La razón $D$ se define en valores de $X$ es porque cada elemento de $F$ es alguna palabra en las letras de $X$ y siempre puedes ampliar cualquier palabra utilizando las reglas del derivado. Por ejemplo: $$D(ab^{-1}c) = D(a) + aD(b^{-1}c)$$ $$= D(a) + a(D(b^{-1}) + b^{-1}D(c))$$ $$= D(a) + aD(b^{-1}) + ab^{-1}D(c)$$ $$= D(a) + a(-b^{-1}D(b)) + ab^{-1}D(c)$$ $$= D(a) - ab^{-1}D(b) + ab^{-1}D(c)$$

No conozco una fórmula que sólo te dé los coeficientes (probablemente haya una pero no hay garantía de que sea buena). En cambio, puedes encontrar los coeficientes expandiendo continuamente los términos hasta que los únicos argumentos de la función $D$ son letras sueltas de $X$ . Así, por ejemplo, en lo anterior encontramos que: $$a_a(ab^{-1}c) = 1$$ $$a_b(ab^{-1}c) = -ab^{-1}$$ $$a_c(ab^{-1}c) = ab^{-1}$$