Dado el vector $\vec x = \left\{ x_i\right\}_{i=1}^n$ encontrar una expresión algebraica para $\vec y = \left\{ x^2_i\right\}_{i=1}^n$

Question

Vector dado. $$\vec x = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},$$ ¿Cómo podemos escribir el vector de $$\vec y = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} := \begin{bmatrix} x^2_1 \\ \vdots \\ x^2_n \end{bmatrix}$$ en términos de $\vec x$ utilizando sólo las operaciones de matrices?

Es sencillo escribir $\vec y$ en términos de $\vec x$ elemento sabio, por ejemplo, en forma de sistema de ecuaciones $y_i = x_i^2$$i = 1, \dots, n$. Sin embargo, estoy luchando para hacerlo utilizando notación matricial y las operaciones.

La mejor opcion que se me ocurrió fue escribir expresiones como $$ \begin{aligned} \vec y &= \vec x ^T \cdot I_{n \times n} \cdot\vec x, & I_{n \times n} -\text{ identity matrix, } & & I_{n \times n} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \vec y &= \left\langle \vec x, \vec x \right \rangle = \left\| \vec x \right\| & - \text{ interior del producto / de la norma, } & & \left\| \vec x \right\| &= \left\langle \vec x, \vec x \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \end{aligned} $$ ambos de los cuales son evidentemente erróneas.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Nota: no está claro qué "utilizando sólo las operaciones de matrices". Qué motivación tiene para este cálculo? A partir de una normal punto de vista geométrico, esto no es algo natural porque es dependiente de la base.

Pero suponiendo que estamos felices de elegir el privilegio de base $$\vec{e}_1 = (1,0,0), \quad \vec{e}_2 = (0,1,0), \quad \vec{e}_3 = (0,0,1)$$ ya que tenemos que hacer algo para romper la simetría bajo cambios de base, podemos escribir la respuesta de la siguiente manera:

$$\vec{y} = (\vec{e}_1 \cdot \vec{x})^2 \vec{e}_1 + (\vec{e}_2 \cdot \vec{x})^2 \vec{e}_2 + (\vec{e}_3 \cdot \vec{x})^2 \vec{e}_3$$

Si usted prefiere, usted podría escribir esto como

$$\vec{y} = \left( (\vec{e}_1^\daga \vec{x}) (\vec{e}_1 \vec{e}_1^\daga) +(\vec{e}_2^\daga \vec{x}) (\vec{e}_2 \vec{e}_2^\daga) +(\vec{e}_3^\daga \vec{x}) (\vec{e}_3 \vec{e}_3^\daga) \right) \vec{x}$$

en el que se evalúa a

$$\vec{y} = \left( x_1 \pmatrix{1 & & \\ & 0 & \\ & & 0} +x_2 \pmatrix{0 & & \\ & 1 & \\ & & 0} +x_3 \pmatrix{0 & & \\ & 0 & \\ & & 1} \right) \vec{x}$$

como se mencionó en otra respuesta.

Answer 2

Lo que usted está buscando es un vector de valores de forma bilineal.

Deje $B$ ser una forma bilineal de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$, de tal manera que, para todos los $i,j,k\in\{1,\cdots n\}$,

$B_{i,j}^k =1$ si $i=j=k$

y

$B_{i,j}^k =0$ lo contrario

Entonces usted tiene $\vec{y} = B(\vec{x},\vec{x})$.

En términos de las coordenadas: $y_k=\sum_{i,j=1}^{n}B_{i,j}^k x_i x_j=(x_k)^2$

Comentario: Si quieres pensar de $B$ como un vector de matrices, es $$B = \left( \pmatrix{1 & & \\ & 0 & \\ & & 0}, \pmatrix{0 & & \\ & 1 & \\ & & 0}, \pmatrix{0 & & \\ & 0 & \\ & & 1} \right) $$ Y la regla a aplicar a los vectores $vec{v}$ $vec{w}$ es $A$B(\vec{v},\vec{w}) = \left( \vec{v}^T \pmatrix{1 & & \\ & 0 & \\ & & 0}\vec{w}, \vec{v}^T \pmatrix{0 & & \\ & 1 & \\ & & 0}\vec{w}, \vec{v}^T\pmatrix{0 & & \\ & 0 & \\ & & 1}\vec{w} \right) $$

Tenga en cuenta que esta manera de escribir $B$ y escribir $B(\vec{v},\vec{w})$ generaliza a cualquier forma bilineal de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$.

Answer 3

$\begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0\\ 0 & x_2 & 0\\ 0 & 0 & x_3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1^2\\x_2²\\x_3^2\end{pmatrix}$