Cómo mostrar que se pueden encontrar dos subspaces que don ' t se cruzan

Question

Supongamos $V, V'$ son subespacios de dimensión $d$ de un espacio vectorial $X$. Entonces existe un subespacio $W$ $X$ de codimension $d$ tal que $W \cap V = W \cap V' = { 0 }$. Esto puede ser demostrado por la elección de un explícito de base para $X$ que contiene una base de $V$, y una base para $V'$, y una base para $V \cap V'$. Por otro lado, debe haber una buena manera de hacer esto sin la elección de una base. ¿Alguien puede explicar esto?

Divulgación: Esto sucedió cuando yo estaba haciendo una tarea de problema. Sin embargo, yo sólo voy a usar el no-base libre de enfoque cuando escribo mi respuesta.

Answer 1

Supongamos primero que $V+ V' = X$. A continuación, el natural mapa de $X/(V\cap V') \to X/V \times X/V'$ es un isomorfismo. Elegir un subespacio de que el objetivo de este isomorfismo que los proyectos isomorphically en cada factor (es decir, la gráfica de un isomorfismo entre los dos factores; un isomorfismo existe desde los dos factores tienen la misma dimensión). Su preimagen en virtud de la natural mapa es un subespacio de $X/(V\cap V')$ que cumple con cada uno de $V$ $V'$ trivialmente. Ahora elegir cualquier subespacio $W$ de $X$ que los proyectos isomorphically en este preimagen; esto es un subespacio de $X$ que se asigna isomorphically en cada una de las $X/V$$X/V'$, y por lo tanto es un codimension $d$ subespacio con la propiedad deseada.

En general (es decir, si $V + V' \neq X$) y luego el de arriba te da una codimension $d$ subespacio $W'$ de $V + V'$ reunión $V$ $V'$ trivialmente. Elija $W''$ a cualquier subespacio de $X$ que mapas isomorphically en $X/(V + V')$. La suma de $W' + W''$ es entonces un codimension $d$ subespacio de $X$ reunión $V$ $V'$ trivialmente.