¿Por qué son triángulos, cuadrados y hexágonos los polígonos sólo con que es posible a un plano?

Question

OK por lo que he oído que los polígonos regulares sólo que pueden llenar completamente el plano sin superponerse son los lados 3,4 y 6. También he oído sobre embaldosados de Penrose, pero omite esta pregunta. ¿Cómo puede uno demostrar que no es otro polígono que puede totalmente azulejo plano sólo por sí mismo?

Saludos

Answer 1

Bueno, si usted mosaico del plano por polígonos regulares congruentes, no debe ser $n$ polígonos reunión en cada vértice. Por lo tanto los ángulos interiores de cada polígono debe ser $2\pi/n$, para algún entero positivo $n$.

Para $n=3$, obtenemos los polígonos con ángulos de $2\pi/3$, los cuales son hexágonos regulares. Este mosaico tiene tres hexágonos regulares de reunión en cada vértice.

Para $n=4$, obtenemos los polígonos con ángulos de $2\pi/4 = \pi/2$, que son cuadrados. Este mosaico tiene cuatro plazas reunión en cada vértice.

Para $n=5$, los polígonos tendría que tener ángulos de $2\pi/5$. Esto no es posible para un polígono regular.

Para $n=6$, los polígonos tendría que tener ángulos de $2\pi/6 = \pi/3$, que son triángulos equiláteros. Este mosaico tiene seis triángulos reunión en cada vértice.

Para $n>6$, los polígonos tendría que tener ángulos de menos de $\pi/3$, lo cual es imposible.

Edit: Como el color Azul indica a continuación, este argumento olvida apuntados, tales como el ladrillo de la pared de mosaico, donde los vértices de un polígono se encuentran los bordes de otro. Véase Steven Stadnicki comentario para la resolución de este caso.

Answer 2

Que $P$ ser un polígono regular y $\alpha$ el valor del ángulo entre dos bordes. Para el plano del azulejo, es necesario que existe un $k \in \mathbb N$ tal que $k \alpha = 2 \pi$. El $\alpha(n)$ del ángulo de un polígono regular de $n$ bordes satisface $n(\pi - \alpha(n)) = 2 \pi$, es decir, $\alpha(n) = \pi - \frac {2 \pi} n$. La única posible $n$ que $2 \pi/\alpha(n) = 2n/(n -2) \in \mathbb N$ son $n=3,4$ y $6$.

Answer 3

Pensar en un piso de azulejos. Los vértices aparecen siempre juntos en algún momento. Es decir, con azulejos rectangulares siempre hay grupos de 4 fichas y las 4 esquinas son 90 grados por lo que 4 de ellos agregar hasta 360. Un hexágono tiene un ángulo interior de 120 y 120 es el mayor factor de 360 distinto (180, que es una línea recta) o 360. Si usted tiene polígonos con 7 o más lados, sus esquinas no encajan muy bien para agregar hasta 360 grados.