Límite inferior para el tamaño de un atlas

Question

Esta pregunta surgió en un posgrado a nivel de la clase en la topología diferencial estoy tomando actualmente, el profesor no podía llegar a una respuesta de la parte superior de su cabeza y, mientras que yo soy muy nuevo en el tema, me llamó la atención como el tipo de cosa por la que no debería estar ya algunos resultados.

Deje $M$ ser (no necesariamente suave) colector. Hay alguna información en el mínimo número de pares de $(U_i, \phi_i)$ donde $U_i$ es un subconjunto abierto de $M$ $\phi_i: U_i\rightarrow \mathbb{R}^n$ es un homeomorphism necesaria para producir un atlas de las $M$? O, tal vez una mejor manera de expresar la pregunta es, hay alguna información en una más pequeña , cubierta $\{U_i\}$ $M$ con la propiedad de que todos los que cubren los conjuntos de homeomórficos a $\mathbb{R}^n$?

Algunos ejemplos que me puede trabajar muy fácilmente en mi propia son las esferas de cualquier dimensión (donde la compresión de la esfera demuestra que 1 gráfico no es suficiente y la proyección estereográfica se demuestra que 2 los gráficos son) el toro (que parece requerir 4 gráficos (aunque no tengo prueba de esto y si un contraejemplo existe me encantaría escuchar sobre él)), y la superficie de género 2 (que parece requerir de 6, pero no estoy tan seguro de esto porque no puedo construir los gráficos).

[Edit: he pasado por alto el hecho evidente de que una superficie orientable con una incrustación en el 3-espacio puede ser cubierto por exactamente dos cartas, sin ningún esfuerzo. Las matemáticas de desbordamiento de enlace en los comentarios ofrece maravillosas muchas referencias, pero todavía me pregunto si hay otros que podrían haberse perdido allí.

Editar para editar: De hecho, la observación anterior hice referencia anteriormente es incorrecta, porque como Anthony Carapetis señala en los comentarios, los gráficos no son contráctiles en general. Sin embargo, los comentarios de acuerdo en que 3 cartas suficientes para cualquier superficie, y armado con la sugerencia de que he sido capaz de imaginar esos atlas para superficies de baja de género. Una referencia no se ha producido todavía, a pesar de que en mi tiempo libre estoy buscando uno.]

Si alguien está familiarizado con los materiales de lectura que puede arrojar algo de luz sobre esta pregunta y todas las respuestas--parcial o de otro tipo, que puede que ya exista, yo estaría muy feliz de tener una referencia. También, espero que la topología algebraica etiqueta es apropiada; supongo que si no hay nada como una respuesta que se puede afirmar en algebro-topológico términos.

Answer 1

Recuerdo haber escuchado que si un cerrado colector $M$ pueden ser cubiertos por $U, V$ tanto homeomórficos a $\mathbb{R}^{n}$, entonces es homotopy equivalente a una esfera (y por lo tanto es topológicamente una esfera por la conjetura de Poincaré, que es mucho más difícil). No hay pruebas de que fue dado, pero voy a tratar de darle una. Se utiliza una dosis fuerte de primaria topología algebraica.

Deje $dim(M) \geq 2$, mientras que el otro caso es trivial.

Claramente $M$ es la ruta de acceso conectado y que queremos mostrar simplemente-conectividad. Fijar un homeomorphism $\phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow U$ y observar que por norma argumentos de compacidad $V$ debe contener $\phi(\mathbb{R}^{n} \setminus D^{n} _{k})$ donde $D^{n} _{k} = \{ x \in \mathbb{R}^{n} \ | \ | x | < k \}$. Deje $x, y \in U \cap V$$p \in V \setminus U$. Un principio de cualquier camino de $x \rightarrow p$ ( $V$ ) dará un camino enteramente contenida en $U$ tal que su fin no radica en $\phi(D^{n} _{k})$ y lo mismo es cierto para $y$. Desde $U \setminus \phi(D^{n} _{k})$ es la ruta de acceso conectado a causa de $n \geq 2$, también debe de existir un camino de $x \rightarrow y$. Esto demuestra que $U \cap V$ es la ruta de acceso conectado y aplicando el teorema de van Kampen obtenemos el resultado deseado, es decir,$\pi _{1}(M) = 0$.

Observar que por el argumento estándar teniendo en cuenta la isomorphisms $H^{k}(M, U) \rightarrow H^{k}(M)$, $H^{k}(M, V) \rightarrow H^{k}(M)$ para $k \neq 0$ y la relación de la copa del producto, todos los más altos de la copa de los productos deben desaparecer. Desde $M$ es simplemente conectado, es orientable y la dualidad de Poincaré se aplica para demostrar que la copa del producto da un perfecto maridaje entre el $H^{k}(M), H^{n-k}(M)$ modulo de torsión. Como todos los productos de desaparecer, esto significa que $H^{k}(M)$ son todos de torsión para $k \neq 0, n$. Pero no pueden contener $p$-torsión para un análogo argumento sobre el $\mathbb{Z}_{p}$, por lo que debe ser cero.

Ahora el mapa $M \rightarrow K(\mathbb{Z}, n)$ lo que representa el generador de $H^{n}(M, \mathbb{Z})$ puede ser empujado hacia abajo a la $(n+1)$-esqueleto de la $K(\mathbb{Z}, n)$, que pasa a ser el $n$-esfera. Esto le da un mapa de $M \rightarrow S^{n}$ que es un isomorfismo en $H^{n}$ y universal coeficiente teorema debe ser también una homología de isomorfismo. Pero ambos espacios son simplemente conectado y por el doble de Whitehead teorema llegamos a la conclusión de que $M \simeq S^{n}$.