Si divide a $\phi(n)$ $n-1$, demostrar que $n$ es un producto de números primos distintos

Question

Si divide a $\phi(n)$ $n-1$, demostrar que $n$ es un producto de números primos distintos (tales como número también es llamado libre de Plaza, ya que es divisible por ningún cuadrado mayor que $1$).

Answer 1

Si $\displaystyle n=\prod_ip_i^{e_i}$, entonces el $\displaystyle\phi(n)=\prod_i(p_i-1)p_i^{e_i-1}$

Por lo tanto, $$ \frac{n-1}{\phi(n)} \prod_ip_i^ {e_i-1}(p_i-1) = n-1 $$ si divide a cualquier $e_i\gt1$, entonces el $p_i^{e_i-1}$ $n$ y $n-1$. Contradicción.

Answer 2

Sugerencia: Si $p^2|n$ y $p|\phi(n)$. ¿Puede $\phi(n)|n-1$ en ese caso?