¿Por qué esta relación de la suma de las raíces cuadradas de igualdad de $1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}=\cot\frac\pi{16}$ para cualquier número natural $n$?

Question

¿Por qué la siguiente función $f(n)$ constante para cualquier número natural $n$? $$f(n)=\frac{\sum_{k=1}^{n^2+2n}\sqrt{\sqrt{2n+2}+{\sqrt{n+1+\sqrt k}}}}{\sum_{k=1}^{n^2+2n}\sqrt{\sqrt{2n+2}-{\sqrt{n+1+\sqrt k}}}}=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}=\cot {\frac{\pi}{16}}.$$

He estado preguntando a la siguiente pregunta en el MSE:

Simplificar $$\frac{\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10+{\sqrt{50+\sqrt{k}}}}}{\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10-{\sqrt{50+\sqrt{k}}}}}.$$

Simplificar $\left({\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10+{\sqrt{50+\sqrt{k}}}}}\right)\left({\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10-{\sqrt{50+\sqrt{k}}}}}\right)^{-1}$

Acabo de recibir el siguiente resultado:$$\frac{\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10+{\sqrt{50+\sqrt k}}}}{\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10-{\sqrt{50+\sqrt k}}}}=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}.$$

Prueba: Supongamos que $\sum$ es $\sum_{k=1}^{2499}$. Deje que el numerador y el denominador se $A$ $B$ respectivamente. Dejando $a_k=\sqrt{10+\sqrt{50+\sqrt k}}, b_k=\sqrt{10-\sqrt{50+\sqrt k}}$, podemos representar a $A, B$ $A=\sum a_k, B=\sum b_k.$ Dejando $p_k=\sqrt{50+\sqrt k}$$q_k=\sqrt{50-\sqrt k}$, ya que el ${p_k}^2+{q_k}^2=10^2$$p_k\gt0, q_k\gt0$, existe un número real $0\lt x_k\lt \frac{\pi}{2}$ tal que $p_k=10\cos x_k, q_k=10\sin x_k$. Entonces, tenemos $$a_k=\sqrt{10+10\cos x_k}=\sqrt{10+10\left(2{\cos^2{\frac{x_k}{2}}}-1\right)}=\sqrt{20}\cos \frac{x_k}{2},$$$$b_k=\sqrt{10-10\cos x_k}=\sqrt{10-10\left(1-2{\sin^2{\frac{x_k}{2}}}\right)}=\sqrt{20}\sin \frac{x_k}{2}.$$

Entonces, desde el $\sum a_k=\sum a_{2500-k}$, vamos a considerar $a_{2500-k}$.$$a_{2500-k}=\sqrt{10+\sqrt{50+\sqrt{(50+\sqrt k)(50-\sqrt k)}}}=\sqrt{10+\sqrt{50+{p_kq_k}}}=\sqrt{10+\sqrt{50+100\cos {x_k}\sin {x_k}}}=\sqrt{10+\sqrt{50(\cos {x_k}+\sin {x_k})^2}}=\sqrt{10+\sqrt{50}\cdot\sqrt2\sin \left(x_k+\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{10+10\cdot2\cos \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)}=\sqrt{10\left(\cos \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\sin \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right)^2}=\sqrt {10}\left(\cos \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\sin \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right)=\frac{\left(\cos \left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)a_k+\left(\cos \left(\frac{\pi}{8}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)b_k}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{\sqrt2+1}{2\sqrt2}}a_k+\sqrt{\frac{\sqrt2-1}{2\sqrt2}}b_k.$$ Hence, $$A=\sqrt{\frac{\sqrt2+1}{2\sqrt2}}A+\sqrt{\frac{\sqrt2-1}{2\sqrt2}}B.$$ Así, la prueba se ha completado con $$\frac AB=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}. $$

Después de un tiempo, tengo el siguiente teorema de la misma manera que el anterior.

Teorema: Para cualquier número natural $n$, $$\frac{\sum_{k=1}^{n^2+2n}\sqrt{\sqrt{2n+2}+{\sqrt{n+1+\sqrt k}}}}{\sum_{k=1}^{n^2+2n}\sqrt{\sqrt{2n+2}-{\sqrt{n+1+\sqrt k}}}}=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}=\cot {\frac{\pi}{16}}.$$

Tenga en cuenta que el caso de $n=49$ en este teorema es la pregunta en la parte superior.

Me sorprendió para conseguir este teorema. Aquí está mi pregunta.

Pregunta: ¿por Qué es la función de $f(n)$ constante para cualquier número natural $n$? ¿Cómo podemos explicar este teorema en un geométrica de aspecto? Es allí cualquier geométrica de fondo?

Mi pregunta es acerca de los antecedentes de esta ecuación, y sobre la razón, no se trata de la prueba de ello. Este teorema ha sido ya demostrado. A pesar de que ya he probado, me pregunto por qué es constante.

Cualquier ayuda sería appriciated.

Answer 1

$\frac {\cos (a+b) + \cos (a - b)}{\sin (a+b) + \sin (a -b)} = cotan (a)$ es independiente de $b$.

En particular, con $a = \frac \pi {16}$, $\frac{\cos x + \cos (\frac \pi 8 - x)}{\sin x + \sin (\frac \pi 8 - x)}$ es independiente de $x$.

Desde $\cos(4(\frac \pi 8 - x)) = \sin(4x)$$\sin(4(\frac \pi 8 - x)) = \cos(4x)$, después de multiplicar el ángulo por $4$, los que se ven bastante de la misma.

Así, expresando todo el mundo en términos de$\cos (4x)$$\sin (4x)$, se obtiene la apariencia similar expresiones (válido para $x \in [0 ; \frac \pi 8]$):

$\cos x = \sqrt{\frac 1 2 + \sqrt{\frac {1+ \cos(4x)}8}} \\ \sen x = \sqrt{\frac 1 2 - \sqrt{\frac {1+ \cos(4x)}8}} \\ \cos (\frac \pi 8 -x) = \sqrt{\frac 1 2 + \sqrt{\frac {1+ \sin(4x)}8}} \\ \sin (\frac \pi 8 -x) = \sqrt{\frac 1 2 - \sqrt{\frac {1+ \sin(4x)}8}} \\ $

A continuación, vamos a $u = \cos(4x)^2$, se puede obtener que

$$\frac {\sqrt{\frac 1 2 + \sqrt{\frac {1+ \sqrt u}8}} + \sqrt{\frac 1 2 + \sqrt{\frac {1+ \sqrt{1-u}}8}}}{\sqrt{\frac 1 2 - \sqrt{\frac {1+ \sqrt u}8}} + \sqrt{\frac 1 2 - \sqrt{\frac {1+ \sqrt{1-u}}8}}}$$ es una constante.

Su igualdad se obtiene dejando en la oscuridad : multiplicar el numerador y el denominador con $\sqrt {2 \sqrt{2n+2}}$, y aplicar este con $u = \frac k {(n+1)^2}$

Por lo que la igualdad se reduce a la original, sorprendente igualdad aproximadamente el $cotan(a)$. No estoy seguro de si puede ser entendida geométricamente.

Usted puede obtener más complicadas fórmulas (incluso más anidada raíces cuadradas !) reflejando el ángulo de alrededor de $a = \frac \pi {2^k}$ $k > 4$