Por que $a^{b}·a^{c}=a^{b+c}$?

Question

¿Por qué $a^{b}·a^{c}=a^{b+c}$?

Quiero prueba para él, le pregunté a profesor y él respondió: "no sé, es una propiedad de todos modos eso es cierto y eso es todo lo que necesita saber."

Answer 1

Es fácil ver esta utilizando la definición de una potencia, si $b$ y $c$ son números naturales.

$$ una ^ b \cdot un ^ c = \overbrace{a \cdots un} ^ {b\ veces} \cdot \overbrace{a \cdots un} ^ {c\ veces} = \overbrace{a \cdots un} ^ {b + c\ veces} = un ^ {b + c} $$

Con las normas

$$a^{-b}=\frac{1}{a^b}$$

y

$$a^{\frac{1}{b}}=\sqrt[b]{a}$$

debería ser posible hacerlo extensivo a los negativos y los números racionales.

Answer 2

Si usted se siente cómodo con natural registros de los exponentes y de los límites, usted podría proporcionar la siguiente prueba:

Suponga $y,z\in\mathbb{R}$ (aunque este argumento también es cierto en $\mathbb{C}$, pero necesitaría un poco más de precisión) y que $x$ es distinto de cero. Queremos mostrar que $x^y\cdot x^z = x^{y+z}$. Trabajemos con el lado izquierdo. Primero vamos a reescribir algunas cosas por su definición en términos de $e$:

$$x^y\cdot x^z=e^{\ln(x)\cdot y}\cdot e^{\ln(x)\cdot z}= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{\ln(x)\cdot y}{n}\right)^n\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{\ln(x)\cdot z}{n}\right)^n $$

Desde $x$, $y$ y $z$ son acotados, sabemos que $x^y$ $x^z$ son demasiado. Estos dos límite de términos al final son limitados y existen.

Desde los dos límites son limitados, el producto de los límites es el límite de los productos (las pruebas están disponibles en cualquier intro. análisis de texto):

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{\ln(x)\cdot y}{n}\right)^n\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{\ln(x)\cdot z}{n}\right)^n = $$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{\ln(x)\cdot y}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{\ln(x)\cdot z}{n}\right)^n =$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\left[1+\frac{\ln(x)\cdot y}{n}\right] \cdot\left[1+\frac{\ln(x)\cdot z}{n}\right]\right)^n =$$

Ahora se pone un poco desagradable

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\left[1+\frac{\ln(x)\cdot (y+z)}{n}+\frac{\ln(x)^2\cdot y\cdot z}{n^2}\right]\right)^n =$$

$$e^{ \lim_{n\rightarrow \infty} n\cdot\ln{\left(1+\frac{\ln(x)\cdot (y+z)}{n}+\frac{\ln(x)^2\cdot y\cdot z}{n^2}\right)}}$$

Ahora vamos a pensar: si dejamos $k:=\frac{1}{n},$ $n$ va a $\infty$, $k$ va a $0$. Este método es bastante común y es una buena cosa para saber y tener en su caja de herramientas de prueba. Así que ahora podemos reescribir esta cosa como un cociente:

$$=\exp \left[ \lim_{k\rightarrow 0} \frac{ \ln{\left(1+k\ln(x)\cdot (y+z) + k^2\ln(x)^2\cdot y\cdot z\right)}} {k} \right]$$

Vamos a mirar en el interior de la $\ln$ en el numerador. $\ln(x)^2\cdot y \cdot z$ $\ln(x)\cdot (y+z)$ son dos constantes por tanto, los términos de la participación de esas de ir a 0. Lo que queda es un 1, lo que significa que todo el numerador va a $\ln(1)$ que es 0. El denominador tiende a 0. Ahora podemos utilizar L'hospitals regla (también resultó en la mayoría de introducción. el análisis de los textos):

$$=\exp \left[ \lim_{k\rightarrow 0} \frac{\ln(x)(y+z)+2k\cdot \ln(x)^2\cdot y\cdot z} {\left(1+k\ln(x)\cdot (y+z) + k^2\ln(x)^2\cdot y\cdot z\right)} \right]$$

Ahora podemos utilizar el cociente regla de los límites (de nuevo, demostrado en la mayoría de introducción. el análisis de los textos):

$$=\exp \left[ \frac{\lim_{k\rightarrow 0}\ln(x)(y+z)+2k\cdot \ln(x)^2\cdot y\cdot z} {\lim_{k\rightarrow 0}\left(1+k\ln(x)\cdot (y+z) + k^2\ln(x)^2\cdot y\cdot z\right)} \right]$$

Y finalmente podemos evaluar nuestros límites!

$$=\exp \left[ \frac{\ln(x)(y+z)} {1} \right] = e^{\ln(x)(y+z)} = x^{y+z}$$

la vaca sagrada de su verdadero

Answer 3

Si $b$ y $c$ son números enteros, entonces solo utiliza la propiedad asociativa para la multiplicación. Si $b$ y $c$ son números reales, entonces debe solicitar $a>0$. Pero también en este caso la prueba es difícil y requiere la definición de $a^b$ % reales exponentes $b$. Esto se reduce a la completitud del sistema $\mathbb{R}$ de los números reales. Tiendo a creer que esto va más allá de su conocimiento en la actualidad...

Answer 4

Es bastante sencillo. Si usted piensa correctamente puede ver que: a^b= (axaxax...xa) {b veces} y simalrly para a^c, se puede tener el mismo. Ahora,estamos calculando el valor de (a^b)x(a^c),usted puede decir fácilmente que se están multiplicando b los números de una, y entonces estamos multiplicando el c de los números de una,con el valor de la multiplicación anterior,silmple! Ahora, la observación o el argumento se puede decir que,en realidad estamos multiplicando total (b+c) números de una y de forma muy natural si asumimos(b+c=z), entonces tenemos z de los números de una y si multiplicamos les vamos a obtener el valor de^z que no es nada pero a^(b+c). así que aquí estamos, que acrediten la identidad (a^b x a^c)=a^(b+c) por una simple observación. Espero que la respuesta le ayudará!la mejor de las suertes.

Answer 5

Esto es sólo contabilidad. Si multiplicas $a^n$ y $a^m$, factores de $m+n$de % de $a$, que $a^{m+n} = a^m a^n$.