Encontrar $\sum\limits_{k=0}^n k$ mediante adición de partes

Question

Este es otro ejercicio de Smoryński la Lógica de la Teoría de números; no ser un matemático, soy un poco nuevo en esto de las diferencias finitas cosas, así que, por favor, tengan paciencia conmigo! En un ejercicio anterior, Smoryński nos pidió a probar la siguiente fórmula para la suma por partes:

$\sum\limits_{k=0}^n f(k)g(k) = g(n)(\sum\limits_{k=0}^n f(k)) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} [\Delta g(k) (\sum\limits_{i=0}^k f(i))]$

Luego, él nos quiere aplicar esta fórmula para derivar $\sum\limits_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. Lo he intentado, pero yo, obviamente, tiene algo de malo. Primero, tenga en cuenta la obvia $\sum\limits_{k=0}^n 1 = n+1$ $\Delta k = 0$ $k$ constante. Por lo tanto, tengo:

$\sum\limits_{k=0}^n k = \sum\limits_{k=0}^n 1 \times k = n (\sum\limits_{k=0}^n 1) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}[\Delta k \sum\limits_{i=0}^k 1] = n(n+1) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}0 = n(n+1) - 0 = n(n+1)$

¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Que $f(k)=1$ y $g(k)=k$. Entonces tenemos

$$\begin{align} S&\equiv \sum_{k=0}^{n}f(k)g(k)\\\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\\\\ &=g(n)\sum_{k=0}^{n}f(k)-\sum_{k=0}^{n-1}\left((g_{k+1}-g_k)\sum_{i=0}^{k}f(i)\right)\\\\ &=n(n+1)-\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{k}1\\\\ &=n(n+1)-\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\\\\ &=n(n+1)-\sum_{k=1}^{n}k\\\\ &=n(n+1)-\sum_{k=0}^{n}k\\\\ 2S&=n(n+1)\\\\ S&=\frac{n(n+1)}{2} \end {Alinee el} $$

como era de esperar!