Criterios de divisibilidad para $7,11,13,17,19$

Question

Un número es divisible por $2$ si termina en $0,2,4,6,8$. Es divisible por $3$ si la suma de cifras es divisible por $3$. Es divisible por $5$ si termina $0$ o $5$. Estas son simples criterios de divisibilidad.

Estoy interesado en simples criterios de Divisibilidad por $7,11,13,17,19$.

Answer 1

$(1)$

Las fórmulas para $2,3,5,9,11$ puede ser derivada de la $\sum_{0\le r\le n}{a_r10^r}$

Observar que $\sum_{0\le r\le n}{a_r10^r}\equiv a_0\pmod 2$

$\sum_{0\le r\le n}{a_r10^r}\equiv a_0\pmod 5$

$\sum_{0\le r\le n}a_r10^r\equiv \sum_{0\le r\le n}a_r\pmod 3$ $9\mid(10^r-1)$

$\sum_{0\le r\le n}a_r10^r\equiv \sum_{0\le r\le n}(-1)^ra_r\pmod {11}$ $10^r\equiv(-1)^r\pmod{11}$

$\sum_{0\le r\le n}a_r10^r\equiv(a_0+a_2+a_4+\cdots)-(a_1+a_3+a_5+\cdots)\pmod{11}$

$(2)$

$N=\sum_{0\le r\le n}a_r10^r\equiv \sum_{0\le r\le m-1}a_r10^r\pmod {10^m}\equiv \sum_{0\le r\le m-1}a_r10^r\pmod {2^m}$ $2^s\mid 10^s$ donde integer $s\ge0$

Esto explica por qué la $2^m\mid N\iff $ los números con menor $m$ dígitos de $N$ es divisible por $2^m$

Por ejemplo, $2524$ será divisible por $2^2=4$ $24$ es, sino $2514$ no será divisible por $2^2=4$ $14$ no lo es.

Asimismo, para $5^m$

$(3)$

Para cualquier número $y$ co-prime con $10,$ que puede tener una fórmula de reducción de la siguiente manera:

Si un número se $10a+b,$ podemos encontrar $u,v$ en números enteros tales que a $10u+y\cdot v=1$ (usando la Identidad de Bézout)

Por eso, $u(10a+b)+v\cdot y\cdot a=a(10u+y\cdot v)+u\cdot b=a+u\cdot b\implies 10a+b$ será divisible por $y\iff y\mid(a+u\cdot b)$

Por ejemplo, si $y=7, $ nos encontramos con $3\cdot7+(-2)10=1\implies u=-2,v=3$

Por eso, $(a+u\cdot b)$ hace $a-2b$

Si $y=19,$ nos encontramos con $2\cdot10+(-1)19=1\implies u=2\implies a+u\cdot b=a+2b$

Siempre podemos usar convergente de la propiedad de las fracciones continuas para encontrar $u,v$.

No hay ninguna razón por qué esto no puede ser generalizado a cualquier número entero positivo bases.

Answer 2

I) enfoque General La divisibilidad de la prueba por el divisor impar excepto terminando con 5

1) en primer lugar, encontrar múltiples de número en la forma de 10^n-1 o 10^n +1

2) Ahora calcular resto, por 10^n-1 o 10^n +1, que es fácil de calcular

3) Si este resto es múltiplo del divisor, a continuación, sólo el número es divisible.

E. g. 1) 7 | N si y sólo si 7 | (N % 1001) es decir, N % 7 = (N % 1001) % 7

     similarly, N % 13 = (N % 1001) % 13, 

II) que Por la Cruz de divisibilidad de la prueba (VJ universal de la divisibilidad de la prueba)

    7 | 10 T + U if and only if 7 | (1T-2U) 
            OR
    7 | 10 T + U if and only if 7 | (2T+3U)
            OR 
    7 | 10 T + U if and only if 7 | (T+5U)   etc

   13 | 10 T + U if and only if 13 | (3T-U)
                OR   
   13 | 10 T + U if and only if 13 | (2T-5U)
                 OR
   13 | 10 T + U if and only if 13 | (T+4U)
                OR
   13 | 1000 T + U if and only if 13 |(T-U)   etc.

    In short there are many approaches to check divisibility test by number. 
    You can also check divisibility 

        1) Using least Recurring length concept

        2) Using Fermat's little theorem

        3) Using vedic mathematics 

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                       Regard
                   Vitthal Jadhav (DrZero.in)