Número de raíces integrales de un polinomio

Question

Dejemos que $p(x)$ sea un polinomio con coeficientes integrales. Sea $a$ , $b$ , $c$ sean tres números enteros distintos, tales que $p(a) = p(b) = p(c) = -1$ . Encuentra el número de raíces integrales de $p(x)$ .

Answer 1

Supongamos que $p(d)=0$ para algún número entero $d$ . Entonces $(x-d) \mid p(x)$ . Conectando, descubrimos un hecho muy sorprendente sobre los números enteros $a-d$ , $b-d$ y $c-d$ ...

Answer 2

Merece destacarse explícitamente que hay una idea de aplicación frecuente en este caso.

Idea clave $\ $ Las posibles factorizaciones de un polinomio $\in\Bbb Z[x]$ están limitados por las factorizaciones de los valores enteros que toma el polinomio. Para un ejemplo sencillo, si algún valor entero tiene pocas factorizaciones (por ejemplo, una unidad $\,\pm1 $ o primar $p$ ) entonces el polinomio también debe tener pocos factores, suponiendo que los factores son distintos en el punto de evaluación. Más concretamente

Si $\, f(x) = f_1(x)\cdots f_k(x)\,$ y $\,f_i\in\Bbb Z[x]\,$ satisfacer $\color{#0a0}{f_i(n) \ne f_j(n)}\,$ para $\,i\ne j,$ todo $\,n\in \Bbb Z$

$\quad f(n) =\pm1\,\Rightarrow\, k\le 2\ $ si no $1$ habría $\rm\,3\,\ \color{#0a0}{distinct}$ factores $\,f_1(n),f_2(n),f_3(n)$

$\quad f(n) = \pm p\,\Rightarrow\, k\le \color{#c00}4\ $ ya que un primo $p$ tiene como máximo $\,\color{#c00}4\,$ factores distintos $\,\pm1,\pm p$

El suyo es un caso especial del primer caso (unitario), en el que el $f_i$ son lineales.

Nota: $\ $ Se puede llevar la idea clave al extremo para obtener un simple algoritmo para la factorización de polinomios mediante la factorización de sus valores enteros y la interpolación de Lagrange. Las ideas de este algoritmo se deben en parte a Bernoulli, Schubert y Kronecker. Véase esta respuesta para las referencias.

Answer 3

¿Conoces el teorema del factor?

$p(a)=-1$ implica que el resto cuando se divide $p(x)$ por $x-a$ es $-1$ .

Utilizando este teorema se obtiene una representación de $p(x)$ .

Entonces, conocerás un hecho "sorprendente" (como dice User-33433) cuando pongas un entero $x=d$ en $p(x)$ .

Por el teorema del factor, obtenemos $$p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x)-1$$ donde $q(x)$ es un polinomio con coeficientes integrales.